Номер 23, страница 148 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

23. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $BE$ и плоскостью $BCC_1$.

Дано:Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.Все ребра призмы равны $1$.

Найти:Угол между прямой $BE$ и плоскостью $BCC_1$.

Решение

Пусть $a$ — длина ребра призмы. По условию, $a=1$.

Для удобства введем декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$.Так как призма правильная и длина бокового ребра равна длине ребра основания, то высота призмы равна $a=1$.

Координаты вершин нижнего основания для правильного шестиугольника со стороной $a=1$, если центр в $(0,0,0)$ и вершина $A$ лежит на оси $Ox$:

$A = (1,0,0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1,0,0)$
$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Координаты вершины $C_1$ верхнего основания получаются добавлением $1$ к $z$-координате $C$:$C_1 = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Рассмотрим прямую $BE$.Вектор, задающий направление прямой $BE$, это $\vec{v} = \vec{BE}$.$\vec{BE} = E - B = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$.Длина вектора $\vec{BE}$ (диагональ шестиугольника через центр) равна $2a = 2 \cdot 1 = 2$.$|\vec{BE}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Рассмотрим плоскость $BCC_1$.Точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $C_1(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ лежат в этой плоскости.Заметим, что $y$-координата всех этих точек одинакова и равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$.Следовательно, уравнение плоскости $BCC_1$ есть $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$, или $y - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$.Нормальный вектор к этой плоскости $\vec{n}$ имеет координаты $(0, 1, 0)$.

Угол $\alpha$ между прямой, заданной вектором $\vec{v} = \vec{BE}$, и плоскостью, заданной нормальным вектором $\vec{n}$, определяется формулой:$\sin \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n}$:$\vec{v} \cdot \vec{n} = (-1)(0) + (-\sqrt{3})(1) + (0)(0) = -\sqrt{3}$.$|\vec{v} \cdot \vec{n}| = |-\sqrt{3}| = \sqrt{3}$.

Длины векторов:$|\vec{v}| = |\vec{BE}| = 2$.$|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.

Подставим значения в формулу:$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Отсюда $\alpha = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 60^\circ$.

Ответ:$60^\circ$