Номер 20, страница 148 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $AB$ и плоскостью $BCC_1$.

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$.

Все ребра равны 1.

Длины ребер даны в условных единицах (число 1), поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Длина ребра основания $a = 1$.

Высота призмы $h = AA_1 = 1$.

Угол между прямой $AB$ и плоскостью $BCC_1$.

Пусть $\alpha$ — искомый угол между прямой $AB$ и плоскостью $BCC_1$. Углом между прямой и плоскостью, если прямая пересекает плоскость и не перпендикулярна ей, называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Прямая $AB$ и плоскость $BCC_1$ пересекаются в точке $B$. Чтобы найти угол, нам необходимо спроецировать точку $A$ на плоскость $BCC_1$. Пусть $K$ — проекция точки $A$ на плоскость $BCC_1$. Тогда искомый угол будет равен углу $\angle ABK$.

Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Длина стороны $AB = 1$.

Внутренний угол правильного шестиугольника равен $(6-2) \times 180^\circ / 6 = 4 \times 180^\circ / 6 = 120^\circ$. Следовательно, $\angle ABC = 120^\circ$.

Проведем из точки $A$ перпендикуляр $AK$ к прямой $BC$. Так как $\angle ABC = 120^\circ$ (тупой угол), точка $K$ будет лежать на продолжении отрезка $BC$ за точку $B$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABK$. Угол $\angle ABK$ является смежным с углом $\angle ABC$ (в контексте угла между прямой $AB$ и прямой $BC$ на плоскости основания, когда $AK$ опущен перпендикулярно на линию $BC$).

$\angle ABK = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Теперь докажем, что $AK$ перпендикулярен плоскости $BCC_1$.

1. По построению, $AK \perp BC$. Прямая $BC$ лежит в плоскости $BCC_1$.

2. Призма правильная, следовательно, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Так как прямая $AK$ лежит в плоскости основания, то $BB_1 \perp AK$.

3. Так как $BB_1 \parallel CC_1$, то $CC_1 \perp AK$. Прямая $CC_1$ лежит в плоскости $BCC_1$.

Таким образом, прямая $AK$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $CC_1$, лежащим в плоскости $BCC_1$. Следовательно, $AK$ перпендикулярна плоскости $BCC_1$.

Из этого следует, что точка $K$ является проекцией точки $A$ на плоскость $BCC_1$. Тогда искомый угол между прямой $AB$ и плоскостью $BCC_1$ равен углу между $AB$ и ее проекцией $BK$, то есть $\angle ABK$.

Мы ранее вычислили $\angle ABK = 60^\circ$.

Угол между прямой $AB$ и плоскостью $BCC_1$ равен $60^\circ$.