Номер 13, страница 147 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13. В тетраэдре $ABCD$, все ребра которого равны $1$, точка $E$ — середина ребра $AD$. Найдите угол между прямой $AD$ и плоскостью $BCE$.

Дано:

Тетраэдр $ABCD$.

Все ребра тетраэдра равны $1$.

Точка $E$ — середина ребра $AD$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (единицы не указаны, поэтому преобразование не требуется).

Найти:

Угол $\phi$ между прямой $AD$ и плоскостью $BCE$.

Решение:

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними равен $90^\circ$. Для того чтобы доказать перпендикулярность прямой $AD$ плоскости $BCE$, достаточно показать, что прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости $BCE$.

Рассмотрим ребра правильного тетраэдра. В правильном тетраэдре любые два скрещивающиеся ребра перпендикулярны. Ребра $AD$ и $BC$ являются скрещивающимися ребрами. Следовательно, прямая $AD$ перпендикулярна прямой $BC$.
Таким образом, $AD \perp BC$.

Рассмотрим грань $ACD$. Это равносторонний треугольник со стороной $1$, поскольку все ребра тетраэдра равны $1$.
Точка $E$ является серединой ребра $AD$. Это означает, что отрезок $CE$ является медианой в равностороннем треугольнике $ACD$, проведенной из вершины $C$ к стороне $AD$.
В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, также является высотой к этой стороне. Следовательно, $CE \perp AD$.

Итак, мы установили, что:
1. Прямая $AD$ перпендикулярна прямой $BC$ ($AD \perp BC$).
2. Прямая $AD$ перпендикулярна прямой $CE$ ($AD \perp CE$).

Прямые $BC$ и $CE$ лежат в плоскости $BCE$ и пересекаются в точке $C$.
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Таким образом, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $BCE$.
Следовательно, угол между прямой $AD$ и плоскостью $BCE$ равен $90^\circ$.

Ответ:

$90^\circ$