Номер 6, страница 147 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $BC_1$ и плоскостью $BCD_1$.

7. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $AB$

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Угол между прямой $BC_1$ и плоскостью $BCD_1$.

Решение:

Пусть длина ребра куба равна $a$.

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость.

Точка $B$ принадлежит плоскости $BCD_1$, поэтому ее проекция на плоскость $BCD_1$ совпадает с самой точкой $B$. Нам необходимо найти ортогональную проекцию точки $C_1$ на плоскость $BCD_1$. Обозначим эту проекцию как $K$. Тогда проекцией прямой $BC_1$ на плоскость $BCD_1$ будет прямая $BK$, а искомый угол будет равен углу $\angle C_1BK$.

1. Рассмотрим взаимное расположение прямой $BC$ и плоскости $CDD_1C_1$. Прямая $BC$ перпендикулярна грани $CDD_1C_1$ (так как $BC \perp CD$ и $BC \perp CC_1$). Поскольку прямая $CD_1$ лежит в плоскости $CDD_1C_1$, то $BC \perp CD_1$.

2. Таким образом, в треугольнике $BCD_1$ угол $\angle BCD_1 = 90^\circ$.

3. Найдем проекцию точки $C_1$ на плоскость $BCD_1$. Для этого опустим перпендикуляр из $C_1$ на плоскость $BCD_1$. Рассмотрим квадрат $CDD_1C_1$. Длина его стороны $a$. Длина диагонали $CD_1 = \sqrt{CD^2 + DD_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

4. В прямоугольном треугольнике $CC_1D$ (или $CDD_1C_1$) проведем высоту $C_1K$ к гипотенузе $CD_1$. Площадь треугольника $CC_1D$ может быть выражена двумя способами:

$S_{CC_1D} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot CC_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} a^2$.

$S_{CC_1D} = \frac{1}{2} \cdot CD_1 \cdot C_1K = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot C_1K$.

Приравнивая эти выражения, получаем:

$\frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} a\sqrt{2} \cdot C_1K$

$C_1K = \frac{a^2}{a\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

5. Докажем, что $C_1K$ является перпендикуляром к плоскости $BCD_1$.

По построению $C_1K \perp CD_1$.

Мы знаем, что $BC \perp$ плоскости $CDD_1C_1$. Так как $C_1K$ лежит в плоскости $CDD_1C_1$, то $BC \perp C_1K$.

Поскольку $C_1K$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым $CD_1$ и $BC$, лежащим в плоскости $BCD_1$, то $C_1K$ перпендикулярен самой плоскости $BCD_1$.

Таким образом, $K$ является ортогональной проекцией точки $C_1$ на плоскость $BCD_1$.

6. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle C_1KB$ (угол $\angle C_1KB = 90^\circ$, так как $C_1K$ перпендикулярен плоскости, в которой лежит $BK$).

Длина отрезка $BC_1$ является диагональю грани $BCC_1B_1$.

$BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Длина $C_1K$ была найдена как $C_1K = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

7. Искомый угол $\phi = \angle C_1BK$. В прямоугольном треугольнике $\triangle C_1KB$ синус угла $\phi$ равен отношению противолежащего катета $C_1K$ к гипотенузе $BC_1$:

$\sin \phi = \frac{C_1K}{BC_1} = \frac{a/\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$.

Поскольку $\phi$ является острым углом (угол между прямой и плоскостью по определению находится в диапазоне $[0^\circ, 90^\circ]$), то $\phi = 30^\circ$.

Ответ:

$30^\circ$.