Номер 1, страница 147 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $AC$ и плоскостью $BCD_1$.

1.Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти: Угол между прямой $AC$ и плоскостью $BCD_1$.

Решение

Обозначим длину ребра куба за $a$. Введем систему координат с началом в точке $A$.

Координаты вершин куба:

$A = (0,0,0)$

$B = (a,0,0)$

$C = (a,a,0)$

$D = (0,a,0)$

$A_1 = (0,0,a)$

$B_1 = (a,0,a)$

$C_1 = (a,a,a)$

$D_1 = (0,a,a)$

Найдем направляющий вектор прямой $AC$:

$\vec{AC} = C - A = (a-0, a-0, 0-0) = (a,a,0)$.

Найдем нормальный вектор плоскости $BCD_1$.

Для этого выберем две некомпланарные вектора, лежащие в плоскости $BCD_1$, например, $\vec{CB}$ и $\vec{CD_1}$.

$\vec{CB} = B - C = (a-a, 0-a, 0-0) = (0,-a,0)$.

$\vec{CD_1} = D_1 - C = (0-a, a-a, a-0) = (-a,0,a)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ плоскости $BCD_1$ перпендикулярен обоим этим векторам и может быть найден как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{CB} \times \vec{CD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -a & 0 \\ -a & 0 & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-a)a - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot a - 0 \cdot (-a)) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - (-a)(-a)) = (-a^2, 0, -a^2)$.

Для упрощения вычислений можно использовать нормальный вектор, пропорциональный найденному, например, $\vec{n'} = (1,0,1)$ (поделив на $-a^2$).

Угол $\phi$ между прямой, заданной направляющим вектором $\vec{v}$, и плоскостью, заданной нормальным вектором $\vec{n'}$, определяется по формуле:

$\sin \phi = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n'}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n'}||}$.

В нашем случае $\vec{v} = \vec{AC} = (a,a,0)$ и $\vec{n'} = (1,0,1)$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{AC} \cdot \vec{n'}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{n'} = (a)(1) + (a)(0) + (0)(1) = a$.

Вычислим длины векторов:

$||\vec{AC}|| = \sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

$||\vec{n'}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для $\sin \phi$:

$\sin \phi = \frac{|a|}{(a\sqrt{2})(\sqrt{2})} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\phi = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$.

Так как угол между прямой и плоскостью по определению находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$, то:

$\phi = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.