Номер 45, страница 147 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

45. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, точка G — середина ребра SD. Найдите угол между прямыми AG и BC.

Дано:

Пирамида $SABCDEF$ - правильная шестиугольная.

Сторона основания $a = 1$.

Длина бокового ребра $l = 2$.

Точка $G$ - середина ребра $SD$.

Найти:

Угол между прямыми $AG$ и $BC$.

Решение:

1. Установим систему координат. Разместим центр правильного шестиугольника $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$. Плоскость основания $ABCDEF$ совпадает с плоскостью $Oxy$.

Сторона основания $a = 1$. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен его стороне, то есть $OA = OB = OC = OD = OE = OF = a = 1$.

Координаты вершин основания:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$

$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$

$D = (-1, 0, 0)$

2. Найдем координаты вершины $S$. Вершина $S$ находится над центром основания, то есть имеет координаты $(0, 0, H)$, где $H$ - высота пирамиды. Боковое ребро $SA = l = 2$. В прямоугольном треугольнике $SOA$ ($O$ - центр основания):

$SA^2 = SO^2 + OA^2$

$l^2 = H^2 + a^2$

$2^2 = H^2 + 1^2$

$4 = H^2 + 1$

$H^2 = 3$

$H = \sqrt{3}$

Таким образом, $S = (0, 0, \sqrt{3})$.

3. Найдем координаты точки $G$. Точка $G$ - середина ребра $SD$.

$S = (0, 0, \sqrt{3})$

$D = (-1, 0, 0)$

$G = \left(\frac{0 + (-1)}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{\sqrt{3} + 0}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

4. Найдем направляющие векторы прямых $AG$ и $BC$.

Вектор $\vec{AG}$: $G - A = \left(-\frac{1}{2} - 1, 0 - 0, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0\right) = \left(-\frac{3}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Вектор $\vec{BC}$: $C - B = \left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0\right) = (-1, 0, 0)$

5. Вычислим угол $\theta$ между прямыми $AG$ и $BC$. Угол между двумя прямыми определяется по формуле косинуса угла между их направляющими векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$: $ \cos\theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{||\vec{v_1}|| \cdot ||\vec{v_2}||} $. Здесь $\vec{v_1} = \vec{AG}$ и $\vec{v_2} = \vec{BC}$.

Скалярное произведение $\vec{AG} \cdot \vec{BC}$:

$\vec{AG} \cdot \vec{BC} = \left(-\frac{3}{2}\right) \cdot (-1) + 0 \cdot 0 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 = \frac{3}{2}$

Модуль (длина) вектора $\vec{AG}$:

$||\vec{AG}|| = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 0^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 0 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$

Модуль (длина) вектора $\vec{BC}$:

$||\vec{BC}|| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$

Подставим найденные значения в формулу косинуса угла:

$\cos\theta = \frac{\left|\frac{3}{2}\right|}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Для упрощения выражения умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\cos\theta = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Найдем угол $\theta$ по значению косинуса:

$\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$\theta = 30^\circ$

Ответ:

$30^\circ$