Номер 42, страница 146 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

42. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми $BA_1$ и $B_1E$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Перевод данных в систему СИ

Все данные уже представлены в безразмерных единицах, что не требует перевода для геометрической задачи.

Найти

Угол между прямыми $BA_1$ и $B_1E$.

Решение

Для определения угла между прямыми воспользуемся методом координат. Расположим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку призма правильная и длина всех её ребер равна 1, то длина стороны шестиугольника основания $a=1$, и высота призмы также равна 1.

Определим координаты вершин, необходимых для нахождения векторов. В правильном шестиугольнике с длиной стороны $a$, расстояние от центра до любой вершины равно $a$. Разместим вершину $A$ на оси $Ox$.

Координаты вершин нижнего основания ($z=0$):

Вершина $A$: $(1, 0, 0)$

Вершина $B$: $(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Вершина $E$: $(1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты соответствующих вершин верхнего основания ($z=1$):

Вершина $A_1$: $(1, 0, 1)$

Вершина $B_1$: $(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Теперь найдем направляющие векторы для прямых $BA_1$ и $B_1E$.

Вектор $\vec{BA_1}$ определяется как $A_1 - B$:

$\vec{BA_1} = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Вектор $\vec{B_1E}$ определяется как $E - B_1$:

$\vec{B_1E} = (-1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 1) = (-1, -2\sqrt{3}/2, -1) = (-1, -\sqrt{3}, -1)$

Обозначим $\vec{u} = \vec{BA_1}$ и $\vec{v} = \vec{B_1E}$. Угол $\theta$ между двумя векторами находится с помощью формулы скалярного произведения:

$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{u} \cdot \vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (1/2) \cdot (-1) + (-\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}) + (1) \cdot (-1)$

$\vec{u} \cdot \vec{v} = -1/2 + 3/2 - 1$

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2/2 - 1$

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 - 1 = 0$

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{BA_1}$ и $\vec{B_1E}$ равно нулю, это означает, что данные векторы ортогональны (перпендикулярны). Следовательно, угол между прямыми $BA_1$ и $B_1E$ равен $90^\circ$.

Ответ:

Угол между прямыми $BA_1$ и $B_1E$ равен $90^\circ$.