Страница 146 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

27. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, точка $D$ — середина ребра $BC$. Найдите угол между прямыми $B_1C_1$ и $AD$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Точка $D$ — середина ребра $BC$.

Найти:

Угол между прямыми $B_1C_1$ и $AD$.

Решение:

Поскольку призма $ABCA_1B_1C_1$ является правильной треугольной, это означает, что ее основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ представляют собой равносторонние треугольники, а боковые ребра призмы перпендикулярны плоскостям оснований.

По условию, все ребра призмы равны 1. Следовательно, треугольник $ABC$ является равносторонним со стороной, равной 1.

Точка $D$ является серединой ребра $BC$. В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, одновременно является и высотой, проведенной к этой стороне. Таким образом, отрезок $AD$ является высотой треугольника $ABC$, опущенной на сторону $BC$.

Из этого следует, что прямая $AD$ перпендикулярна прямой $BC$, то есть $AD \perp BC$.

Далее, рассмотрим прямую $B_1C_1$. Она является ребром верхнего основания призмы $A_1B_1C_1$. Поскольку основания призмы $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны друг другу, то соответствующие стороны этих оснований также параллельны. Следовательно, прямая $B_1C_1$ параллельна прямой $BC$, то есть $B_1C_1 \parallel BC$.

Мы имеем две прямые: $AD$ и $B_1C_1$. Мы установили, что $AD \perp BC$ и $B_1C_1 \parallel BC$.

Если одна прямая (в данном случае $AD$) перпендикулярна другой прямой (в данном случае $BC$), а третья прямая (в данном случае $B_1C_1$) параллельна второй прямой ($BC$), то первая прямая ($AD$) также перпендикулярна третьей прямой ($B_1C_1$).

Таким образом, прямая $AD$ перпендикулярна прямой $B_1C_1$, то есть $AD \perp B_1C_1$.

Угол между двумя перпендикулярными прямыми по определению равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

28. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, точка $D$ — середина ребра $BC$. Найдите угол между прямыми $CB_1$ и $AD$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длины всех ребер $a = 1$.

Точка $D$ — середина ребра $BC$.

Перевод в СИ:

Все величины уже представлены в единой системе измерения (условные единицы длины), поэтому перевод не требуется.

Найти:

Угол $\theta$ между прямыми $CB_1$ и $AD$.

Решение:

Для нахождения угла между прямыми воспользуемся координатным методом.

1.Введение системы координат:

Разместим начало координат в точке $A=(0,0,0)$.

Так как $ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма, ее основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками со стороной $a=1$. Боковые ребра перпендикулярны основаниям и также имеют длину 1.

Точка $D$ — середина ребра $BC$. $AD$ является медианой и высотой равностороннего треугольника $ABC$. Длина высоты $h_a$ в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h_a = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $AD = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Расположим отрезок $AD$ вдоль оси $Ox$. Тогда координаты точки $A=(0,0,0)$ и точки $D=(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 0)$.

Поскольку $AD \perp BC$ и $D$ — середина $BC$, отрезок $BC$ будет перпендикулярен оси $Ox$ и параллелен оси $Oy$. Длина отрезков $BD = DC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}$.

Координаты точек $B$ и $C$ в плоскости $Oxy$ (плоскость основания):

$B = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$

$C = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0)$

Координаты точки $B_1$ (расположена над $B$ на высоте, равной длине бокового ребра, то есть 1, вдоль оси $Oz$):

$B_1 = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$

2.Нахождение векторов направления прямых:

Для прямой $AD$ возьмем вектор $\vec{AD}$. Координаты вектора находятся вычитанием координат начальной точки из координат конечной точки:

$\vec{AD} = D - A = (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 0)$

Модуль (длина) вектора $\vec{AD}$: $||\vec{AD}|| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Для прямой $CB_1$ возьмем вектор $\vec{CB_1}$:

$\vec{CB_1} = B_1 - C = (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, 1 - 0) = (0, -1, 1)$

Модуль (длина) вектора $\vec{CB_1}$: $||\vec{CB_1}|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$.

3.Вычисление угла между векторами:

Угол $\theta$ между двумя прямыми, заданными векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$, определяется по формуле скалярного произведения:

$ \cos \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||} $

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AD}$ и $\vec{CB_1}$:

$ \vec{AD} \cdot \vec{CB_1} = (\frac{\sqrt{3}}{2})(0) + (0)(-1) + (0)(1) = 0 + 0 + 0 = 0 $

Теперь подставим значения скалярного произведения и модулей векторов в формулу для косинуса угла:

$ \cos \theta = \frac{|0|}{(\frac{\sqrt{3}}{2})(\sqrt{2})} = \frac{0}{\frac{\sqrt{6}}{2}} = 0 $

Так как $\cos \theta = 0$, то угол $\theta$ равен $90^\circ$. Следовательно, прямые $AD$ и $CB_1$ перпендикулярны.

Ответ:

Угол между прямыми $CB_1$ и $AD$ равен $90^\circ$.

29. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла $AC_1B$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длины всех ребер призмы равны 1, то есть $AB = BC = AC = AA_1 = BB_1 = CC_1 = A_1B_1 = B_1C_1 = A_1C_1 = 1$.

Найти:

Косинус угла $AC_1B$, то есть $\cos(\angle AC_1B)$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $AC_1B$. Для нахождения косинуса угла $AC_1B$ необходимо определить длины всех трех сторон этого треугольника: $AB$, $AC_1$ и $BC_1$.

1. Длина ребра $AB$ задана по условию задачи: $AB = 1$.

2. Длина отрезка $BC_1$. Этот отрезок является диагональю боковой грани $BCC_1B_1$. Поскольку призма является правильной, ее боковые грани - прямоугольники. Так как все ребра призмы равны 1, боковая грань $BCC_1B_1$ является квадратом со стороной 1.Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCC_1$ (угол $C$ прямой, так как $CC_1 \perp BC$).По теореме Пифагора:$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2$$BC_1^2 = 1^2 + 1^2$$BC_1^2 = 1 + 1$$BC_1^2 = 2$$BC_1 = \sqrt{2}$.

3. Длина отрезка $AC_1$. Этот отрезок является диагональю боковой грани $ACC_1A_1$. Аналогично, боковая грань $ACC_1A_1$ является квадратом со стороной 1.Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$ (угол $C$ прямой, так как $CC_1 \perp AC$).По теореме Пифагора:$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$$AC_1^2 = 1^2 + 1^2$$AC_1^2 = 1 + 1$$AC_1^2 = 2$$AC_1 = \sqrt{2}$.

Таким образом, мы определили длины сторон треугольника $AC_1B$:$AB = 1$$BC_1 = \sqrt{2}$$AC_1 = \sqrt{2}$

Заметим, что треугольник $AC_1B$ является равнобедренным, поскольку $AC_1 = BC_1$.

Для нахождения косинуса угла $AC_1B$ применим теорему косинусов для треугольника $AC_1B$. Сторона, противолежащая углу $AC_1B$, это $AB$.$AB^2 = AC_1^2 + BC_1^2 - 2 \cdot AC_1 \cdot BC_1 \cdot \cos(\angle AC_1B)$

Подставим найденные значения сторон:$1^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\angle AC_1B)$$1 = 2 + 2 - 2 \cdot 2 \cdot \cos(\angle AC_1B)$$1 = 4 - 4 \cdot \cos(\angle AC_1B)$

Выразим $\cos(\angle AC_1B)$ из этого уравнения:$4 \cdot \cos(\angle AC_1B) = 4 - 1$$4 \cdot \cos(\angle AC_1B) = 3$$\cos(\angle AC_1B) = \frac{3}{4}$

Ответ:

Косинус угла $AC_1B$ равен $\frac{3}{4}$.

30. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми $SB$ и $AC$.

Дано

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Все ребра пирамиды равны $1$, то есть $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$.

Найти:

Угол между прямыми $SB$ и $AC$.

Решение

В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ основанием является квадрат $ABCD$.

Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. Таким образом, $AC \perp BD$.

Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей основания $AC$ и $BD$. Так как пирамида правильная, вершина $S$ проецируется в центр основания $O$. Следовательно, отрезок $SO$ является высотой пирамиды.

Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Отсюда следует, что $SO$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $ABCD$. В частности, $SO \perp AC$.

Мы имеем, что прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $SO$, которые лежат в плоскости $SBD$.

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости. Следовательно, $AC \perp (SBD)$.

Прямая $SB$ лежит в плоскости $SBD$.

Поскольку $AC$ перпендикулярна плоскости $SBD$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $AC \perp SB$.

Угол между перпендикулярными прямыми равен $90^\circ$.

Ответ:

$90^\circ$

31. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, точки $E, F$ — середины ребер соответственно $AB, BC$.

Найдите угол между прямыми $SA$ и $EF$.

Дано:

правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.
все ребра равны 1, то есть $SA=SB=SC=SD=AB=BC=CD=DA=1$.
$E$ - середина ребра $AB$.
$F$ - середина ребра $BC$.

Перевод данных в систему СИ:

Все длины ребер даны в безразмерных единицах (равны 1), поэтому перевод в систему СИ не требуется, так как искомая величина - угол.

Найти:

угол между прямыми $SA$ и $EF$.

Решение:

1. Рассмотрим основание пирамиды $ABCD$. Поскольку пирамида правильная, основанием является квадрат со стороной, равной 1. То есть $AB=BC=CD=DA=1$.
2. Точки $E$ и $F$ являются серединами ребер $AB$ и $BC$ соответственно. В треугольнике $ABC$, отрезок $EF$ является средней линией, так как соединяет середины двух сторон.
3. По свойству средней линии треугольника, $EF$ параллельна третьей стороне $AC$ и ее длина равна половине длины $AC$:
$EF \parallel AC$
$EF = \frac{1}{2} AC$
4. Найдем длину диагонали $AC$ квадрата $ABCD$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (так как $ABCD$ - квадрат), по теореме Пифагора:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$
$AC = \sqrt{2}$
5. Таким образом, длина отрезка $EF$ составляет $EF = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
6. Угол между скрещивающимися прямыми $SA$ и $EF$ определяется как угол между одной из этих прямых и прямой, параллельной другой и пересекающей первую. Поскольку $EF \parallel AC$, угол между прямыми $SA$ и $EF$ равен углу между прямыми $SA$ и $AC$. Эти прямые пересекаются в точке $A$.
7. Рассмотрим треугольник $SAC$. Длины его сторон: $SA = 1$ (дано), $SC = 1$ (дано, так как все ребра пирамиды равны 1), $AC = \sqrt{2}$ (найдено ранее).
8. Проверим соотношение сторон в треугольнике $SAC$ по теореме Пифагора:
$SA^2 + SC^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$
$AC^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$
Так как $SA^2 + SC^2 = AC^2$, треугольник $SAC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $S$ ($\angle ASC = 90^\circ$).
9. Более того, поскольку $SA = SC = 1$, треугольник $SAC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником.
10. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны $45^\circ$. Таким образом, $\angle SAC = \angle SCA = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ$.
11. Следовательно, угол между прямыми $SA$ и $AC$ равен $45^\circ$. А значит, угол между прямыми $SA$ и $EF$ также равен $45^\circ$.

Ответ:

$45^\circ$

32. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, точка $E$ — середина ребра $SC$. Найдите угол между прямыми $AD$ и $BE$.

Дано:

Пирамида $SABCD$ - правильная четырехугольная.

Все ребра равны 1: $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$.

Точка $E$ - середина ребра $SC$.

Найти:

Угол между прямыми $AD$ и $BE$.

Решение:

1. Поскольку $SABCD$ - правильная четырехугольная пирамида, ее основание $ABCD$ является квадратом. Следовательно, прямая $AD$ параллельна прямой $BC$.

2. Угол между скрещивающимися прямыми $AD$ и $BE$ равен углу между прямой $BC$ (параллельной $AD$) и прямой $BE$. Таким образом, нам нужно найти угол $\angle CBE$.

3. Рассмотрим треугольник $SBC$. Так как все ребра пирамиды равны 1, то $SB = BC = SC = 1$. Следовательно, треугольник $SBC$ является равносторонним.

4. Точка $E$ - середина ребра $SC$. В равностороннем треугольнике $SBC$ медиана $BE$ является также высотой и биссектрисой, проведенной из вершины $B$ к стороне $SC$.

5. Длина медианы $BE$ в равностороннем треугольнике со стороной $a=1$ находится по формуле высоты: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $BE = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

6. Рассмотрим треугольник $BCE$. У нас есть следующие длины сторон и угол:

$BC = 1$ (сторона основания)

$CE = \frac{1}{2} SC = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$ (так как $E$ - середина $SC$)

$BE = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (найдено выше)

Угол $\angle BCE$ равен углу $\angle SCB$, который в равностороннем треугольнике $SBC$ равен $60^\circ$.

7. Применим теорему косинусов для угла $\angle CBE$ в треугольнике $BCE$:

$CE^2 = BC^2 + BE^2 - 2 \cdot BC \cdot BE \cdot \cos(\angle CBE)$

Подставляем известные значения:

$(\frac{1}{2})^2 = 1^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\angle CBE)$

$\frac{1}{4} = 1 + \frac{3}{4} - \sqrt{3} \cdot \cos(\angle CBE)$

$\frac{1}{4} = \frac{7}{4} - \sqrt{3} \cdot \cos(\angle CBE)$

Перенесем слагаемые для выражения $\cos(\angle CBE)$:

$\sqrt{3} \cdot \cos(\angle CBE) = \frac{7}{4} - \frac{1}{4}$

$\sqrt{3} \cdot \cos(\angle CBE) = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$\cos(\angle CBE) = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$\cos(\angle CBE) = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

8. Поскольку $\cos(\angle CBE) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, угол $\angle CBE$ равен $30^\circ$.

Ответ:

Угол между прямыми $AD$ и $BE$ равен $30^\circ$.

33. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол $ABD_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1, то есть $AB = BC = CD = DE = EF = FA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 = EE_1 = FF_1 = 1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$. (Единицы не указаны, поэтому величина безразмерна; специального перевода в систему СИ не требуется).

Найти:

Угол $ABD_1$.

Решение:

Для определения угла $ABD_1$ рассмотрим треугольник $ABD_1$. Найдем длины его сторон $AB$, $BD_1$ и $AD_1$.

1. Длина стороны $AB$:
$AB$ является ребром основания правильной шестиугольной призмы. По условию, длина всех ребер призмы равна 1.
Следовательно, $AB = 1$.

2. Длина стороны $BD_1$:
Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDD_1$. Угол $D$ в этом треугольнике прямой, так как боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$.
Длина бокового ребра $DD_1$ равна 1 по условию.
Длина отрезка $BD$ — это длина короткой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$. Длина короткой диагонали $d_1$ правильного шестиугольника вычисляется по формуле $d_1 = a\sqrt{3}$.
Поскольку $a = 1$, то $BD = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $BDD_1$:
$BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2$
$BD_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2$
$BD_1^2 = 3 + 1$
$BD_1^2 = 4$
$BD_1 = \sqrt{4} = 2$.

3. Длина стороны $AD_1$:
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$. Угол $D$ в этом треугольнике прямой, так как боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$.
Длина бокового ребра $DD_1$ равна 1 по условию.
Длина отрезка $AD$ — это длина большой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$. Длина большой диагонали $d_2$ правильного шестиугольника равна $2a$.
Поскольку $a = 1$, то $AD = 2 \cdot 1 = 2$.
Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $ADD_1$:
$AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2$
$AD_1^2 = 2^2 + 1^2$
$AD_1^2 = 4 + 1$
$AD_1^2 = 5$
$AD_1 = \sqrt{5}$.

Таким образом, длины сторон треугольника $ABD_1$ составляют:
$AB = 1$
$BD_1 = 2$
$AD_1 = \sqrt{5}$

Для нахождения угла $ABD_1$ (обозначим его $\alpha$) применим теорему косинусов к треугольнику $ABD_1$:
$AD_1^2 = AB^2 + BD_1^2 - 2 \cdot AB \cdot BD_1 \cdot \cos(\angle ABD_1)$
$(\sqrt{5})^2 = 1^2 + 2^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos(\alpha)$
$5 = 1 + 4 - 4 \cdot \cos(\alpha)$
$5 = 5 - 4 \cdot \cos(\alpha)$
$0 = -4 \cdot \cos(\alpha)$
$\cos(\alpha) = \frac{0}{-4}$
$\cos(\alpha) = 0$

Поскольку косинус угла $\alpha$ равен 0, это означает, что угол $\alpha$ является прямым.
Следовательно, $\angle ABD_1 = 90^\circ$.

Это также подтверждается тем, что $AB^2 + BD_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$, и $AD_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$. Так как $AB^2 + BD_1^2 = AD_1^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $ABD_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

Ответ: $90^\circ$.

34. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла $ABE_1$.

Дано:

правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

все ребра призмы равны 1.

Перевод данных в систему СИ:

Длина ребра основания $a = 1$ (безразмерная величина).

Высота призмы $h = 1$ (безразмерная величина).

Найти:

тангенс угла $ABE_1$, то есть $\tan(\angle ABE_1)$.

Решение:

рассмотрим треугольник $ABE_1$. для нахождения тангенса угла $ABE_1$ нам необходимо знать длины его сторон.
1. длина ребра $AB$ по условию равна 1, так как это ребро основания: $AB = 1$.
2. найдем длину отрезка $BE_1$. рассмотрим прямоугольный треугольник $BEE_1$.
катет $EE_1$ является высотой призмы, то есть боковым ребром, $EE_1 = 1$.
катет $BE$ является большой диагональю правильного шестиугольника (основания призмы) со стороной $a=1$. длина большой диагонали правильного шестиугольника равна $2a$.
следовательно, $BE = 2 \cdot 1 = 2$.
по теореме пифагора для треугольника $BEE_1$:
$BE_1^2 = BE^2 + EE_1^2$
$BE_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$
$BE_1 = \sqrt{5}$.
3. найдем длину отрезка $AE_1$. рассмотрим прямоугольный треугольник $AEE_1$.
катет $EE_1$ является высотой призмы, $EE_1 = 1$.
катет $AE$ является малой диагональю правильного шестиугольника (основания призмы) со стороной $a=1$. малая диагональ соединяет вершины, между которыми лежит одна вершина (например, $A$ и $C$). длина малой диагонали правильного шестиугольника равна $a\sqrt{3}$. в нашем случае $AE$ соединяет вершины $A$ и $E$. если перечислить вершины по кругу $A, B, C, D, E, F, A$, то между $A$ и $E$ находятся $B, C, D$. или если идти в обратную сторону $A, F, E$. таким образом, $A$ и $E$ разделены одной вершиной ($F$) или тремя ($B, C, D$). это означает, что $AE$ является малой диагональю.
следовательно, $AE = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
по теореме пифагора для треугольника $AEE_1$:
$AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2$
$AE_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$
$AE_1 = \sqrt{4} = 2$.
таким образом, стороны треугольника $ABE_1$ равны: $AB=1$, $BE_1=\sqrt{5}$, $AE_1=2$.
4. для нахождения косинуса угла $ABE_1$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $ABE_1$.
$AE_1^2 = AB^2 + BE_1^2 - 2 \cdot AB \cdot BE_1 \cdot \cos(\angle ABE_1)$
подставим известные значения:
$2^2 = 1^2 + (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} \cdot \cos(\angle ABE_1)$
$4 = 1 + 5 - 2\sqrt{5} \cos(\angle ABE_1)$
$4 = 6 - 2\sqrt{5} \cos(\angle ABE_1)$
$2\sqrt{5} \cos(\angle ABE_1) = 6 - 4$
$2\sqrt{5} \cos(\angle ABE_1) = 2$
$\cos(\angle ABE_1) = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
5. теперь найдем $\sin(\angle ABE_1)$ из основного тригонометрического тождества, учитывая, что угол в треугольнике положителен:
$\sin^2(\angle ABE_1) + \cos^2(\angle ABE_1) = 1$
$\sin^2(\angle ABE_1) = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
$\sin(\angle ABE_1) = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
6. наконец, найдем тангенс угла:
$\tan(\angle ABE_1) = \frac{\sin(\angle ABE_1)}{\cos(\angle ABE_1)} = \frac{2/\sqrt{5}}{1/\sqrt{5}} = 2$.

Ответ:

$\tan(\angle ABE_1) = 2$.

35. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми $AC$ и $B_1F_1$.

Дано: Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Все рёбра призмы равны 1.

Перевод в СИ: Поскольку длины рёбер заданы в условных единицах (число 1), перевод в систему СИ не требуется.

Найти: Угол между прямыми $AC$ и $B_1F_1$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC$ и $B_1F_1$ можно использовать метод координат или геометрические преобразования. Воспользуемся тем, что прямая $B_1F_1$ параллельна прямой $BF$, лежащей в той же плоскости, что и прямая $AC$ (плоскость основания $ABCDEF$). Следовательно, угол между прямыми $AC$ и $B_1F_1$ равен углу между прямыми $AC$ и $BF$.

Расположим центр основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку призма правильная шестиугольная и все её рёбра равны 1, то сторона основания $a=1$, и высота призмы $h=1$. Координаты вершин основания $ABCDEF$ (для $a=1$):

• Вершина $A$: $(1, 0, 0)$
• Вершина $B$: $(\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• Вершина $C$: $(\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• Вершина $F$: $(\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Найдем векторы направлений для прямых $AC$ и $BF$:

Вектор $\vec{AC}$: $C - A = (-1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор $\vec{BF}$: $F - B = (1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 0)$.

Обозначим $\vec{u} = \vec{AC}$ и $\vec{v} = \vec{BF}$. Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле:

$\cos \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (-3/2) \cdot 0 + (\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}) + 0 \cdot 0 = 0 - 3/2 + 0 = -3/2$.

Вычислим длины (модули) векторов:

$|\vec{u}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{9/4 + 3/4} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

$|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{3}$.

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла. Поскольку угол между прямыми принято считать острым (от $0^\circ$ до $90^\circ$), используем абсолютное значение скалярного произведения:

$\cos \theta = \frac{|-3/2|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3/2}{3} = 1/2$.

Находим угол $\theta$:

$\theta = \arccos(1/2) = 60^\circ$.

Ответ: Угол между прямыми $AC$ и $B_1F_1$ равен $60^\circ$.

36. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми $AC$ и $B_1D_1$.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная.

Длины всех ребер равны $1$.

Перевод в СИ:

Данная задача не требует перевода в систему СИ, так как не содержит конкретных физических единиц измерения. Длины ребер даны в условных единицах.

Найти:

Угол между прямыми $AC$ и $B_1D_1$.

Решение:

Для нахождения угла между двумя скрещивающимися прямыми $AC$ и $B_1D_1$ воспользуемся методом координат.

Поместим начало координат $O(0,0,0)$ в центр нижнего основания $ABCDEF$.

Так как призма правильная шестиугольная и все ее ребра равны $1$, то длина стороны основания $AB=1$, и высота призмы $AA_1=1$.

Координаты вершин нижнего основания правильного шестиугольника со стороной $1$ (радиус описанной окружности равен $1$):

$A = (1, 0, 0)$

$B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$

$C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$

$D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

Координаты вершин верхнего основания получаются из координат нижнего основания путем увеличения $z$-координаты на высоту призмы, которая также равна $1$:

$B_1 = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$

$D_1 = (-1, 0, 1)$

Найдем векторы, соответствующие прямым $AC$ и $B_1D_1$:

Вектор $\vec{AC}$: $C - A = \left(-\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0\right) = \left(-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$

Вектор $\vec{B_1D_1}$: $D_1 - B_1 = \left(-1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 1\right) = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$

Обозначим эти векторы как $\vec{u}$ и $\vec{v}$ соответственно:

$\vec{u} = \left(-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$

$\vec{v} = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{u} \cdot \vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \left(-\frac{3}{2}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + (0) \cdot (0) = \frac{9}{4} - \frac{3}{4} + 0 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Найдем длины векторов $|\vec{u}|$ и $|\vec{v}|$:

$|\vec{u}| = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$

$|\vec{v}| = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$

Косинус угла $\phi$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется по формуле:

$\cos \phi = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

$\cos \phi = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{3} = \frac{3}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2}$

Следовательно, угол $\phi = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.

Геометрическое обоснование (для проверки):

Прямая $B_1D_1$ параллельна прямой $BD$ в нижнем основании, так как $BB_1D_1D$ является прямоугольником (боковая грань $BB_1C_1C$ и $DD_1E_1E$ являются прямоугольниками, а $BD$ и $B_1D_1$ - диагонали соответствующих плоскостей, лежащих в параллельных плоскостях). Более строго, вектор $\vec{BD} = D-B = (-1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, что совпадает с проекцией $\vec{B_1D_1}$ на плоскость $z=0$. Таким образом, прямые $B_1D_1$ и $BD$ параллельны.

Следовательно, угол между прямыми $AC$ и $B_1D_1$ равен углу между прямыми $AC$ и $BD$ в плоскости основания.

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ со стороной $1$, диагонали $AC$ и $BD$ равны $\sqrt{3}$ (например, по теореме косинусов для треугольника $ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = 1^2+1^2-2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-1/2) = 1+1+1=3$, откуда $AC=\sqrt{3}$).

Векторы, лежащие в плоскости основания: $\vec{AC} = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $\vec{BD} = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$. Их скалярное произведение и длины дают тот же результат, $\cos \phi = 1/2$, что соответствует углу $60^\circ$.

Ответ:

$60^\circ$

37. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямыми AB и $CF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:

Тангенс угла между прямыми $AB$ и $CF_1$.

Решение:

Поскольку призма является правильной шестиугольной, ее основания представляют собой правильные шестиугольники, а боковые грани - прямоугольники. Все ребра призмы равны 1. Это означает, что длина стороны основания $a = 1$ и высота призмы $h = 1$.

Для нахождения угла между двумя скрещивающимися прямыми $AB$ и $CF_1$, перенесем одну из прямых параллельно самой себе так, чтобы она пересекала другую прямую.

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ сторона $AB$ параллельна главной диагонали $FC$. Это свойство правильного шестиугольника: стороны, отстоящие друг от друга на две вершины (например, $AB$ и $ED$), параллельны, а также параллельны диагоналям, проходящим через центр (например, $AB$ параллельна $FC$).

Таким образом, угол между прямыми $AB$ и $CF_1$ равен углу между прямыми $FC$ и $CF_1$. Эти две прямые пересекаются в точке $C$. Следовательно, искомый угол - это $\angle FCF_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle FCF_1$. Длина ребра $FF_1$ равна высоте призмы, $FF_1 = 1$. Длина отрезка $FC$ - это длина главной (большой) диагонали правильного шестиугольника $ABCDEF$. Для правильного шестиугольника со стороной $a$, длина главной диагонали равна $2a$. В нашем случае $a = 1$, поэтому $FC = 2 \cdot 1 = 2$. Длина отрезка $CF_1$ является диагональю боковой грани $CC_1F_1F$ (которая является прямоугольником). В прямоугольнике $CC_1F_1F$ стороны $CC_1 = 1$ и $C_1F_1 = FC = 2$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle CC_1F_1$ (прямой угол при $C_1$): $CF_1^2 = CC_1^2 + C_1F_1^2$ $CF_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$ $CF_1 = \sqrt{5}$.

Теперь вернемся к треугольнику $\triangle FCF_1$ со сторонами $FC=2$, $FF_1=1$, $CF_1=\sqrt{5}$. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным: $FC^2 + FF_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$ $CF_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$ Так как $FC^2 + FF_1^2 = CF_1^2$, по обратной теореме Пифагора, треугольник $\triangle FCF_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$.

Мы ищем тангенс угла $\angle FCF_1$. В прямоугольном треугольнике $\triangle FCF_1$ (угол при $F$ прямой): Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. $\tan(\angle FCF_1) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{FF_1}{FC}$ $\tan(\angle FCF_1) = \frac{1}{2}$

Ответ:

Тангенс угла между прямыми $AB$ и $CF_1$ равен $1/2$.

38. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол $ACD_1$.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная.

Длины всех ребер равны $1$.

Перевод в систему СИ:

Не требуется, так как заданы безразмерные длины, и искомая величина - угол.

Найти:

Угол $ACD_1$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $ACD_1$. Для нахождения угла $ACD_1$ воспользуемся теоремой косинусов, предварительно вычислив длины сторон этого треугольника.

1. Длина стороны $CD_1$:

Ребро $CD$ является стороной правильного шестиугольника и равно $1$. Ребро $DD_1$ является боковым ребром призмы и равно $1$. Так как призма правильная, боковые ребра перпендикулярны основаниям. Следовательно, треугольник $CDD_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$.

По теореме Пифагора:

$CD_1 = \sqrt{CD^2 + DD_1^2}$

$CD_1 = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

2. Длина стороны $AC$:

Сторона $AC$ является малой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике со стороной $a$, длина малой диагонали равна $a\sqrt{3}$.

В нашем случае $a=1$, поэтому:

$AC = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$

3. Длина стороны $AD_1$:

Сторона $AD_1$ является диагональю в пространстве. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$. Ребро $DD_1$ равно $1$. Сторона $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике со стороной $a$, длина большой диагонали (проходящей через центр) равна $2a$.

В нашем случае $a=1$, поэтому:

$AD = 2 \cdot 1 = 2$

Треугольник $ADD_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$. По теореме Пифагора:

$AD_1 = \sqrt{AD^2 + DD_1^2}$

$AD_1 = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

4. Нахождение угла $ACD_1$:

Теперь, зная длины всех сторон треугольника $ACD_1$ ($AC = \sqrt{3}$, $CD_1 = \sqrt{2}$, $AD_1 = \sqrt{5}$), мы можем применить теорему косинусов для нахождения угла $ACD_1$. Пусть $\angle ACD_1 = \alpha$.

По теореме косинусов:

$AD_1^2 = AC^2 + CD_1^2 - 2 \cdot AC \cdot CD_1 \cdot \cos(\angle ACD_1)$

$(\sqrt{5})^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\alpha)$

$5 = 3 + 2 - 2\sqrt{6} \cos(\alpha)$

$5 = 5 - 2\sqrt{6} \cos(\alpha)$

$0 = -2\sqrt{6} \cos(\alpha)$

Отсюда следует, что $\cos(\alpha) = 0$.

Значение угла, косинус которого равен $0$, составляет $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

Таким образом, $\angle ACD_1 = 90^\circ$.

Можно также заметить, что $AC^2 + CD_1^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$. И $AD_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$. Так как $AC^2 + CD_1^2 = AD_1^2$, по обратной теореме Пифагора, треугольник $ACD_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Ответ: $90^\circ$

39. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол $AC_1D_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1.

Найти:

Угол $AC_1D_1$.

Решение:

Для нахождения угла $AC_1D_1$ в треугольнике $AC_1D_1$ воспользуемся теоремой косинусов. Для этого необходимо найти длины всех сторон этого треугольника: $AC_1$, $C_1D_1$ и $AD_1$.

1.Найдём длину ребра $C_1D_1$:

По условию задачи, все ребра призмы равны 1. Ребро $C_1D_1$ является ребром верхнего основания призмы.

Следовательно, $C_1D_1 = 1$.

2.Найдём длину отрезка $AC_1$:

Рассмотрим нижнее основание призмы $ABCDEF$, которое является правильным шестиугольником со стороной, равной 1.

Отрезок $AC$ является малой диагональю правильного шестиугольника. Длина малой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $a\sqrt{3}$.

В данном случае $a=1$, поэтому $AC = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$. Катет $CC_1$ является боковым ребром призмы и перпендикулярен плоскости основания, его длина $CC_1 = 1$. Катет $AC$ лежит в плоскости нижнего основания.

По теореме Пифагора для $\triangle ACC_1$:

$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$

$AC_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2$

$AC_1^2 = 3 + 1 = 4$

$AC_1 = \sqrt{4} = 2$.

3.Найдём длину отрезка $AD_1$:

Снова рассмотрим нижнее основание призмы $ABCDEF$. Отрезок $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника. Длина большой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $2a$.

В нашем случае $a=1$, поэтому $AD = 2 \cdot 1 = 2$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$. Катет $DD_1$ является боковым ребром призмы и перпендикулярен плоскости основания, его длина $DD_1 = 1$. Катет $AD$ лежит в плоскости нижнего основания.

По теореме Пифагора для $\triangle ADD_1$:

$AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2$

$AD_1^2 = 2^2 + 1^2$

$AD_1^2 = 4 + 1 = 5$

$AD_1 = \sqrt{5}$.

4.Найдём угол $AC_1D_1$ с помощью теоремы косинусов:

В треугольнике $AC_1D_1$ нам известны все три стороны: $AC_1 = 2$, $C_1D_1 = 1$, $AD_1 = \sqrt{5}$.

Применим теорему косинусов для нахождения угла $\angle AC_1D_1$. Обозначим этот угол как $\alpha$. По теореме косинусов:

$AD_1^2 = AC_1^2 + C_1D_1^2 - 2 \cdot AC_1 \cdot C_1D_1 \cdot \cos(\alpha)$

Подставим найденные значения длин сторон:

$(\sqrt{5})^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos(\alpha)$

$5 = 4 + 1 - 4 \cos(\alpha)$

$5 = 5 - 4 \cos(\alpha)$

$0 = -4 \cos(\alpha)$

$\cos(\alpha) = 0$

Так как $\cos(\alpha) = 0$, то угол $\alpha = 90^\circ$.

Таким образом, угол $AC_1D_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

40. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямыми $CC_1$ и $BE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Перевод в СИ:

Длина ребер $a = 1$ (единица длины).

Найти:

Тангенс угла между прямыми $CC_1$ и $BE_1$.

Решение:

Угол между двумя скрещивающимися прямыми определяется как угол между одной из прямых и прямой, параллельной второй прямой, проходящей через точку на первой прямой. В данном случае, прямая $CC_1$ параллельна прямой $BB_1$, так как обе являются боковыми ребрами правильной призмы.

Следовательно, угол между прямыми $CC_1$ и $BE_1$ равен углу между прямыми $BB_1$ и $BE_1$. Эти две прямые пересекаются в точке $B$. Искомый угол — это $\angle E_1BB_1$.

Рассмотрим треугольник $BB_1E_1$.

1. Длина ребра $BB_1$ равна 1, так как все ребра призмы равны 1 ($BB_1 = 1$).

2. Так как призма правильная, ее основания являются правильными шестиугольниками. В правильном шестиугольнике со стороной $a$, длина большой диагонали (соединяющей противоположные вершины, например, $B_1$ и $E_1$) равна $2a$. Поскольку сторона основания $a=1$, то $B_1E_1 = 2 \times 1 = 2$.

3. Призма является прямой, поэтому боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Поскольку отрезок $B_1E_1$ лежит в плоскости основания, то $BB_1 \perp B_1E_1$.

Таким образом, треугольник $BB_1E_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B_1$.

Мы ищем тангенс угла $\angle E_1BB_1$. В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.

$\tan(\angle E_1BB_1) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{B_1E_1}{BB_1}$

Подставляем известные значения:

$\tan(\angle E_1BB_1) = \frac{2}{1} = 2$

Ответ:

$2$

41. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми $BF_1$ и $CC_1$.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная.

Все ребра призмы равны 1.

Перевод в СИ:

Поскольку длина ребер задана в безразмерных единицах (число 1), перевод в систему СИ не требуется, или можно считать, что $1$ единица равна $1$ метру.

Найти:

Угол между прямыми $BF_1$ и $CC_1$.

Решение:

Прямые $BF_1$ и $CC_1$ являются скрещивающимися. Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, необходимо одну из них перенести параллельно самой себе так, чтобы она пересекла другую прямую. Угол между исходными скрещивающимися прямыми будет равен углу между полученными пересекающимися прямыми.

Рассмотрим прямую $CC_1$. Так как $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная призма, все ее боковые ребра параллельны друг другу. В частности, прямая $BB_1$ параллельна прямой $CC_1$.

Таким образом, угол между прямыми $BF_1$ и $CC_1$ равен углу между прямыми $BF_1$ и $BB_1$. Эти две прямые пересекаются в точке $B$. Следовательно, искомый угол - это угол $\angle B_1BF_1$.

Рассмотрим треугольник $BB_1F_1$. Поскольку призма является правильной, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Прямая $B_1F_1$ лежит в плоскости этого основания. Из этого следует, что $BB_1 \perp B_1F_1$.

Значит, треугольник $BB_1F_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B_1$.

По условию задачи, все ребра призмы равны 1. Следовательно:

$BB_1 = 1$ (боковое ребро)

$B_1F_1 = 1$ (сторона правильного шестиугольника в верхнем основании)

В прямоугольном треугольнике $BB_1F_1$ тангенс угла $\angle B_1BF_1$ определяется как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета:

$\tan(\angle B_1BF_1) = \frac{B_1F_1}{BB_1}$

Подставляем известные значения:

$\tan(\angle B_1BF_1) = \frac{1}{1} = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$.

Следовательно, $\angle B_1BF_1 = 45^\circ$.

Ответ:

$45^\circ$

42. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми $BA_1$ и $B_1E$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Перевод данных в систему СИ

Все данные уже представлены в безразмерных единицах, что не требует перевода для геометрической задачи.

Найти

Угол между прямыми $BA_1$ и $B_1E$.

Решение

Для определения угла между прямыми воспользуемся методом координат. Расположим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку призма правильная и длина всех её ребер равна 1, то длина стороны шестиугольника основания $a=1$, и высота призмы также равна 1.

Определим координаты вершин, необходимых для нахождения векторов. В правильном шестиугольнике с длиной стороны $a$, расстояние от центра до любой вершины равно $a$. Разместим вершину $A$ на оси $Ox$.

Координаты вершин нижнего основания ($z=0$):

Вершина $A$: $(1, 0, 0)$

Вершина $B$: $(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Вершина $E$: $(1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты соответствующих вершин верхнего основания ($z=1$):

Вершина $A_1$: $(1, 0, 1)$

Вершина $B_1$: $(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Теперь найдем направляющие векторы для прямых $BA_1$ и $B_1E$.

Вектор $\vec{BA_1}$ определяется как $A_1 - B$:

$\vec{BA_1} = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Вектор $\vec{B_1E}$ определяется как $E - B_1$:

$\vec{B_1E} = (-1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 1) = (-1, -2\sqrt{3}/2, -1) = (-1, -\sqrt{3}, -1)$

Обозначим $\vec{u} = \vec{BA_1}$ и $\vec{v} = \vec{B_1E}$. Угол $\theta$ между двумя векторами находится с помощью формулы скалярного произведения:

$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{u} \cdot \vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (1/2) \cdot (-1) + (-\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}) + (1) \cdot (-1)$

$\vec{u} \cdot \vec{v} = -1/2 + 3/2 - 1$

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2/2 - 1$

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 - 1 = 0$

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{BA_1}$ и $\vec{B_1E}$ равно нулю, это означает, что данные векторы ортогональны (перпендикулярны). Следовательно, угол между прямыми $BA_1$ и $B_1E$ равен $90^\circ$.

Ответ:

Угол между прямыми $BA_1$ и $B_1E$ равен $90^\circ$.

43. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми $AC$ и $DF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Длина ребра основания $a=1$.

Высота призмы $h=1$.

Перевод в СИ:

Данные величины являются безразмерными или заданы в условных единицах, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Угол между прямыми $AC$ и $DF_1$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC$ и $DF_1$, перенесем одну из прямых так, чтобы они имели общую точку, или найдем параллельную ей прямую, пересекающую вторую. Рассмотрим прямые $AC$ и $FD$.

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ со стороной $a=1$, короткие диагонали, такие как $AC$ и $FD$, параллельны и имеют одинаковую длину. Докажем это с помощью векторов, расположив центр нижнего основания в начале координат $(0,0,0)$.

Координаты необходимых вершин нижнего основания ($z=0$):

$A = (1, 0, 0)$

$C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

$F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Координаты вершины $F_1$ верхнего основания ($z=1$, так как высота призмы равна 1):

$F_1 = (1/2, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Вычислим векторы $\vec{AC}$ и $\vec{FD}$:

$\vec{AC} = C - A = (-1/2 - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$\vec{FD} = D - F = (-1 - 1/2, 0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Поскольку $\vec{AC} = \vec{FD}$, прямые $AC$ и $FD$ параллельны. Следовательно, угол между прямыми $AC$ и $DF_1$ равен углу между прямыми $FD$ и $DF_1$. Этот угол можно найти, рассмотрев треугольник $FDF_1$.

Рассмотрим треугольник $FDF_1$. Ребро $FF_1$ является высотой призмы и перпендикулярно плоскости нижнего основания, в которой лежит прямая $FD$. Таким образом, треугольник $FDF_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$ ($\angle DFF_1 = 90^\circ$).

Найдем длины сторон этого прямоугольного треугольника:

1. Длина катета $FF_1$ - это высота призмы, которая по условию равна 1: $FF_1 = 1$.

2. Длина катета $DF$ - это длина короткой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a=1$. Длина такой диагонали равна $a\sqrt{3}$. Значит, $DF = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

3. Длина гипотенузы $DF_1$ может быть найдена по теореме Пифагора:

$DF_1^2 = DF^2 + FF_1^2$

$DF_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$DF_1 = \sqrt{4} = 2$

Искомый угол - это угол $\angle F_1DF$ в прямоугольном треугольнике $FDF_1$. Косинус этого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\angle F_1DF) = \frac{DF}{DF_1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Следовательно, угол $\angle F_1DF = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$.

Ответ:

30°

44. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между прямыми $SA$ и $BC$.

Дано

пирамида $SABCDEF$ - правильная шестиугольная;

сторона основания $a = 1$;

боковое ребро $l = 2$.

Найти:

косинус угла между прямыми $SA$ и $BC$.

Решение

Для решения задачи используем метод координат.

1. Расположим центр основания $O$ в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку пирамида правильная, вершина $S$ будет лежать на оси $z$. Пусть $S=(0,0,h)$, где $h$ - высота пирамиды.

2. Определим координаты вершин основания. В правильном шестиугольнике сторона $a$ равна радиусу описанной окружности. Следовательно, расстояние от центра основания до любой его вершины равно $a=1$. Пусть вершина $A$ лежит на положительной части оси $x$. Тогда её координаты $A=(1,0,0)$.

Координаты вершины $B$ можно найти, повернув $A$ на $60^\circ$ вокруг оси $z$: $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Координаты вершины $C$ можно найти, повернув $A$ на $120^\circ$ вокруг оси $z$: $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

3. Найдем высоту пирамиды $h$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, где $O$ - центр основания. $OA$ - это радиус описанной окружности, $OA=a=1$. $SA$ - это боковое ребро, $SA=l=2$. $SO=h$ - это высота пирамиды.

По теореме Пифагора для $\triangle SOA$: $SO^2 + OA^2 = SA^2$. $h^2 + 1^2 = 2^2$. $h^2 + 1 = 4$. $h^2 = 3$. $h = \sqrt{3}$.

Таким образом, координаты вершины $S=(0,0,\sqrt{3})$.

4. Найдем направляющие векторы прямых $SA$ и $BC$.

Вектор $\vec{SA}$ направлен из $S$ в $A$: $\vec{SA} = A - S = (1-0, 0-0, 0-\sqrt{3}) = (1, 0, -\sqrt{3})$.

Вектор $\vec{BC}$ направлен из $B$ в $C$: $\vec{BC} = C - B = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0-0) = (-1, 0, 0)$.

5. Вычислим косинус угла между прямыми $SA$ и $BC$. Угол $\theta$ между двумя прямыми, направляющие векторы которых $\vec{u}$ и $\vec{v}$, определяется формулой: $\cos \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$. Здесь используется абсолютное значение скалярного произведения, чтобы получить косинус острого угла между прямыми.

Вычислим скалярное произведение $\vec{SA} \cdot \vec{BC}$: $\vec{SA} \cdot \vec{BC} = (1)(-1) + (0)(0) + (-\sqrt{3})(0) = -1 + 0 + 0 = -1$.

Вычислим длины векторов (модули): $|\vec{SA}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 0 + 3} = \sqrt{4} = 2$. (Это длина бокового ребра, что совпадает с данными условия).

$|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 0 + 0} = \sqrt{1} = 1$. (Это длина стороны основания, что также совпадает с данными условия).

Теперь подставим полученные значения в формулу для косинуса угла: $\cos \theta = \frac{|-1|}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $0.5$