Страница 140 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26.24. По аналогии с заданием прямой на координатной плоскости напишите параметрические уравнения, задающие прямую в координатном пространстве, проходящую через точку $A_0(x_0; y_0; z_0)$ и направляющим вектором $\bar{e}(k; l; m)$.

Дано:

Точка на прямой: $A_0(x_0; y_0; z_0)$

Направляющий вектор прямой: $\vec{e}(k; l; m)$

Найти:

Параметрические уравнения прямой в координатном пространстве.

Решение:

Пусть $P(x; y; z)$ — произвольная точка, лежащая на искомой прямой.

Вектор $\vec{A_0P}$ соединяет известную точку $A_0$ с произвольной точкой $P$ на прямой. Координаты этого вектора: $\vec{A_0P} = (x - x_0; y - y_0; z - z_0)$.

Поскольку точка $P$ лежит на прямой, а $\vec{e}$ является направляющим вектором этой прямой, то вектор $\vec{A_0P}$ должен быть коллинеарен (параллелен) вектору $\vec{e}$. Это означает, что существует некоторый скалярный параметр $t$ (где $t \in \mathbb{R}$), такой что $\vec{A_0P} = t \vec{e}$.

Запишем это равенство в координатной форме, учитывая, что $t \vec{e} = (t \cdot k; t \cdot l; t \cdot m)$:

$(x - x_0; y - y_0; z - z_0) = (tk; tl; tm)$

Приравнивая соответствующие координаты, получаем систему уравнений:

$x - x_0 = tk$

$y - y_0 = tl$

$z - z_0 = tm$

Выразим $x$, $y$, $z$ через параметр $t$:

$x = x_0 + tk$

$y = y_0 + tl$

$z = z_0 + tm$

Эти уравнения и являются параметрическими уравнениями прямой в трехмерном пространстве.

Ответ:

Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку $A_0(x_0; y_0; z_0)$ с направляющим вектором $\vec{e}(k; l; m)$, имеют вид:

$x = x_0 + tk$

$y = y_0 + tl$

$z = z_0 + tm$

где $t$ — произвольный действительный параметр.

26.25. Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку O(0; 0; 0) и направляющим вектором $\vec{e}(1; 1; 1)$.

Дано:

точка $o(x_0; y_0; z_0) = (0; 0; 0)$

направляющий вектор $\vec{e}(l; m; n) = (1; 1; 1)$

Найти:

параметрические уравнения прямой.

Решение:

параметрические уравнения прямой, проходящей через точку $(x_0; y_0; z_0)$ и имеющей направляющий вектор $(l; m; n)$, задаются следующими формулами:

$x = x_0 + lt$

$y = y_0 + mt$

$z = z_0 + nt$

где $t$ - это параметр.

подставим заданные значения точки $o(0; 0; 0)$ и направляющего вектора $\vec{e}(1; 1; 1)$ в эти формулы:

$x = 0 + 1 \cdot t$

$y = 0 + 1 \cdot t$

$z = 0 + 1 \cdot t$

упростим полученные выражения:

$x = t$

$y = t$

$z = t$

Ответ:

$x = t$

$y = t$

$z = t$

26.26. Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точки O(0; 0; 0) и A(1; 2; 3).

Дано:

Точки $O(0; 0; 0)$ и $A(1; 2; 3)$.

Перевод в СИ: Все данные уже представлены в стандартной системе координат.

Найти:

Параметрические уравнения прямой, проходящей через точки $O$ и $A$.

Решение:

Для написания параметрических уравнений прямой нам необходима точка, через которую проходит прямая, и направляющий вектор этой прямой.

В качестве точки, через которую проходит прямая, мы можем взять любую из данных точек, например, точку $O(x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 0)$.

Направляющий вектор $\vec{v}(a, b, c)$ прямой можно найти как вектор, соединяющий две данные точки. В нашем случае это вектор $\vec{OA}$.

Координаты направляющего вектора $\vec{OA}$ вычисляются как разность координат конечной и начальной точек:

$a = x_A - x_O = 1 - 0 = 1$

$b = y_A - y_O = 2 - 0 = 2$

$c = z_A - z_O = 3 - 0 = 3$

Таким образом, направляющий вектор $\vec{v} = (1, 2, 3)$.

Общий вид параметрических уравнений прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0, z_0)$ с направляющим вектором $(a, b, c)$, имеет вид:

$x = x_0 + at$

$y = y_0 + bt$

$z = z_0 + ct$

Подставим значения $x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $z_0 = 0$ и $a = 1$, $b = 2$, $c = 3$ в формулы:

$x = 0 + 1 \cdot t$

$y = 0 + 2 \cdot t$

$z = 0 + 3 \cdot t$

Упрощая, получаем:

$x = t$

$y = 2t$

$z = 3t$

Ответ:

Параметрические уравнения прямой:
$x = t$
$y = 2t$
$z = 3t$