Страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

25.5. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вершина $D$ — начало координат, ребра $DC$, $DA$, $DD_1$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно и $DC = 4$, $DA = 3$, $DD_1 = 2$ (рис. 25.5). Найдите координаты вектора:

а) $\vec{DB}$;

б) $\vec{DA_1}$;

в) $\vec{DC_1}$;

г) $\vec{DB_1}$;

д) $\vec{AB}$;

е) $\vec{AC}$;

ж) $\vec{AB_1}$;

з) $\vec{AD_1}$;

и) $\vec{AC_1}$.

Рис. 25.5

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Вершина $D$ является началом координат, то есть $D(0, 0, 0)$.

Ребра $DC$, $DA$, $DD_1$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно.

Длины ребер: $DC = 4$, $DA = 3$, $DD_1 = 2$.

Перевод в СИ:

Поскольку в условии задачи не указаны конкретные единицы измерения (например, метры, сантиметры), будем считать, что все длины заданы в условных единицах длины. Следовательно, перевод в систему СИ не требуется, так как задача оперирует безразмерными или условными единицами.

Найти:

Координаты векторов:

а) $\vec{DB}$

б) $\vec{DA_1}$

в) $\vec{DC_1}$

г) $\vec{DB_1}$

д) $\vec{AB}$

е) $\vec{AC}$

ж) $\vec{AB_1}$

з) $\vec{AD_1}$

и) $\vec{AC_1}$

Решение:

Определим координаты всех вершин параллелепипеда в заданной системе координат:

Поскольку $D$ – начало координат, $D(0, 0, 0)$.

Ребро $DC$ лежит на оси $Ox$ и имеет длину 4, значит, $C(4, 0, 0)$.

Ребро $DA$ лежит на оси $Oy$ и имеет длину 3, значит, $A(0, 3, 0)$.

Ребро $DD_1$ лежит на оси $Oz$ и имеет длину 2, значит, $D_1(0, 0, 2)$.

Координаты остальных вершин можно найти, используя свойства прямоугольного параллелепипеда:

$B(DC, DA, 0) = B(4, 3, 0)$

$C_1(DC, 0, DD_1) = C_1(4, 0, 2)$

$A_1(0, DA, DD_1) = A_1(0, 3, 2)$

$B_1(DC, DA, DD_1) = B_1(4, 3, 2)$

Координаты вектора $\vec{XY}$ определяются как разность координат конечной точки $Y$ и начальной точки $X$: $\vec{XY} = (X_x - Y_x, X_y - Y_y, X_z - Y_z)$ .

Или, более точно: $\vec{XY} = (Y_x - X_x, Y_y - X_y, Y_z - X_z)$.

а) $\vec{DB}$

Начало вектора $D(0, 0, 0)$, конец $B(4, 3, 0)$.

$\vec{DB} = (4-0, 3-0, 0-0) = (4, 3, 0)$.

Ответ: $(4, 3, 0)$

б) $\vec{DA_1}$

Начало вектора $D(0, 0, 0)$, конец $A_1(0, 3, 2)$.

$\vec{DA_1} = (0-0, 3-0, 2-0) = (0, 3, 2)$.

Ответ: $(0, 3, 2)$

в) $\vec{DC_1}$

Начало вектора $D(0, 0, 0)$, конец $C_1(4, 0, 2)$.

$\vec{DC_1} = (4-0, 0-0, 2-0) = (4, 0, 2)$.

Ответ: $(4, 0, 2)$

г) $\vec{DB_1}$

Начало вектора $D(0, 0, 0)$, конец $B_1(4, 3, 2)$.

$\vec{DB_1} = (4-0, 3-0, 2-0) = (4, 3, 2)$.

Ответ: $(4, 3, 2)$

д) $\vec{AB}$

Начало вектора $A(0, 3, 0)$, конец $B(4, 3, 0)$.

$\vec{AB} = (4-0, 3-3, 0-0) = (4, 0, 0)$.

Ответ: $(4, 0, 0)$

е) $\vec{AC}$

Начало вектора $A(0, 3, 0)$, конец $C(4, 0, 0)$.

$\vec{AC} = (4-0, 0-3, 0-0) = (4, -3, 0)$.

Ответ: $(4, -3, 0)$

ж) $\vec{AB_1}$

Начало вектора $A(0, 3, 0)$, конец $B_1(4, 3, 2)$.

$\vec{AB_1} = (4-0, 3-3, 2-0) = (4, 0, 2)$.

Ответ: $(4, 0, 2)$

з) $\vec{AD_1}$

Начало вектора $A(0, 3, 0)$, конец $D_1(0, 0, 2)$.

$\vec{AD_1} = (0-0, 0-3, 2-0) = (0, -3, 2)$.

Ответ: $(0, -3, 2)$

и) $\vec{AC_1}$

Начало вектора $A(0, 3, 0)$, конец $C_1(4, 0, 2)$.

$\vec{AC_1} = (4-0, 0-3, 2-0) = (4, -3, 2)$.

Ответ: $(4, -3, 2)$

25.6. Найдите координаты вектора:

a) $\vec{a} + \vec{b}$;

б) $\vec{a} - \vec{b}$, если $\vec{a}(1; 0; 3)$, $\vec{b}(0; -2; 4)$.

Дано:
Вектор $\vec{a}(1; 0; 3)$
Вектор $\vec{b}(0; -2; 4)$

Найти:
Координаты вектора $\vec{a} + \vec{b}$
Координаты вектора $\vec{a} - \vec{b}$

Решение:

а) $\vec{a} + \vec{b}$

Для нахождения суммы двух векторов их соответствующие координаты складываются.Пусть $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$. Тогда координаты вектора $\vec{c}$ будут:$c_x = a_x + b_x$
$c_y = a_y + b_y$
$c_z = a_z + b_z$

Подставляем значения координат векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:$c_x = 1 + 0 = 1$
$c_y = 0 + (-2) = -2$
$c_z = 3 + 4 = 7$

Таким образом, вектор $\vec{a} + \vec{b}$ имеет координаты $(1; -2; 7)$.

Ответ: $\vec{a} + \vec{b}(1; -2; 7)$

б) $\vec{a} - \vec{b}$

Для нахождения разности двух векторов их соответствующие координаты вычитаются.Пусть $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$. Тогда координаты вектора $\vec{d}$ будут:$d_x = a_x - b_x$
$d_y = a_y - b_y$
$d_z = a_z - b_z$

Подставляем значения координат векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:$d_x = 1 - 0 = 1$
$d_y = 0 - (-2) = 0 + 2 = 2$
$d_z = 3 - 4 = -1$

Таким образом, вектор $\vec{a} - \vec{b}$ имеет координаты $(1; 2; -1)$.

Ответ: $\vec{a} - \vec{b}(1; 2; -1)$

25.7. Найдите координаты точки N, если вектор $\vec{MN}$ имеет координаты (2; -1; 0) и M(1; -3; -5).

Дано:

Координаты вектора $\vec{MN}$: $(2; -1; 0)$

Координаты точки $M$: $(1; -3; -5)$

Найти:

Координаты точки $N$: $(x_N; y_N; z_N)$

Решение:

Для нахождения координат точки $N$ воспользуемся формулой для координат вектора. Если вектор $\vec{MN}$ задан точками $M(x_M; y_M; z_M)$ и $N(x_N; y_N; z_N)$, то его координаты определяются как разность координат конечной точки $N$ и начальной точки $M$:

$\vec{MN} = (x_N - x_M; y_N - y_M; z_N - z_M)$

Нам известны координаты вектора $\vec{MN} = (2; -1; 0)$ и координаты точки $M(1; -3; -5)$. Подставим эти значения в формулу:

$2 = x_N - 1$

$-1 = y_N - (-3)$

$0 = z_N - (-5)$

Теперь решим каждое уравнение относительно $x_N$, $y_N$ и $z_N$:

$x_N = 2 + 1$

$y_N = -1 - 3$

$z_N = 0 - 5$

Вычислим значения:

$x_N = 3$

$y_N = -4$

$z_N = -5$

Таким образом, координаты точки $N$ равны $(3; -4; -5)$.

Ответ:

$N(3; -4; -5)$

25.8. Найдите длину вектора:

а) $\vec{i} + 2\vec{j} - \vec{k}$

б) $3\vec{j} + \vec{k}$

в) $-\vec{i} + 2\vec{k}$

а) $\vec{i} + 2\vec{j} - \vec{k}$

Дано:

Вектор $\vec{a} = \vec{i} + 2\vec{j} - \vec{k}$.

Координаты вектора: $x=1, y=2, z=-1$.

Найти:

Длину вектора $|\vec{a}|$.

Решение:

Длина вектора $\vec{v}$, заданного своими компонентами $x, y, z$ в ортонормированном базисе ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$), вычисляется по формуле: $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Для вектора $\vec{a} = 1\vec{i} + 2\vec{j} - 1\vec{k}$ имеем $x=1, y=2, z=-1$.

Подставляем значения в формулу: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}$.

Производим вычисления: $|\vec{a}| = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.

Ответ: $\sqrt{6}$

б) $3\vec{j} + \vec{k}$

Дано:

Вектор $\vec{b} = 3\vec{j} + \vec{k}$.

Координаты вектора: $x=0, y=3, z=1$.

Найти:

Длину вектора $|\vec{b}|$.

Решение:

Используем ту же формулу для длины вектора: $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Для вектора $\vec{b} = 0\vec{i} + 3\vec{j} + 1\vec{k}$ имеем $x=0, y=3, z=1$.

Подставляем значения: $|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 1^2}$.

Производим вычисления: $|\vec{b}| = \sqrt{0 + 9 + 1} = \sqrt{10}$.

Ответ: $\sqrt{10}$

в) $-\vec{i} + 2\vec{k}$

Дано:

Вектор $\vec{c} = -\vec{i} + 2\vec{k}$.

Координаты вектора: $x=-1, y=0, z=2$.

Найти:

Длину вектора $|\vec{c}|$.

Решение:

Используем ту же формулу для длины вектора: $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Для вектора $\vec{c} = -1\vec{i} + 0\vec{j} + 2\vec{k}$ имеем $x=-1, y=0, z=2$.

Подставляем значения: $|\vec{c}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 2^2}$.

Производим вычисления: $|\vec{c}| = \sqrt{1 + 0 + 4} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$

25.9. Найдите скалярное произведение векторов $\bar{a}_1(-1; 2; 3)$ и $\bar{a}_2(2; -1; 4)$.

Дано:

Вектор $\vec{a_1}(-1; 2; 3)$

Вектор $\vec{a_2}(2; -1; 4)$

Перевод в СИ: Координаты векторов являются безразмерными величинами, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Скалярное произведение векторов $\vec{a_1} \cdot \vec{a_2}$

Решение:

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ в декартовых координатах вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$

Для данных векторов $\vec{a_1}(-1; 2; 3)$ и $\vec{a_2}(2; -1; 4)$ имеем следующие координаты:

$x_1 = -1$, $y_1 = 2$, $z_1 = 3$

$x_2 = 2$, $y_2 = -1$, $z_2 = 4$

Подставим эти значения в формулу для скалярного произведения:

$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = (-1) \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 4$

Выполним умножение:

$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = -2 - 2 + 12$

Выполним сложение и вычитание:

$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = -4 + 12$

$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = 8$

Ответ: 8

25.10. Даны векторы $\vec{a}(-1; 2; 5)$, $\vec{b}(2; -3; 4)$. Найдите координаты векторов:

a) $3\vec{a} + 2\vec{b}$;

б) $-\vec{a} + 3\vec{b}$.

Дано:

Векторы: $\vec{a}(-1; 2; 5)$, $\vec{b}(2; -3; 4)$.

Найти:

Координаты векторов: $3\vec{a} + 2\vec{b}$ и $-\vec{a} + 3\vec{b}$.

Решение:

Для выполнения операций над векторами необходимо умножить каждую координату вектора на соответствующий скаляр, а затем сложить или вычесть соответствующие координаты векторов.

a) $3\vec{a} + 2\vec{b}$

Сначала найдем координаты вектора $3\vec{a}$:

$3\vec{a} = 3 \cdot (-1; 2; 5) = (3 \cdot (-1); 3 \cdot 2; 3 \cdot 5) = (-3; 6; 15)$

Затем найдем координаты вектора $2\vec{b}$:

$2\vec{b} = 2 \cdot (2; -3; 4) = (2 \cdot 2; 2 \cdot (-3); 2 \cdot 4) = (4; -6; 8)$

Теперь сложим полученные векторы:

$3\vec{a} + 2\vec{b} = (-3; 6; 15) + (4; -6; 8)$

$3\vec{a} + 2\vec{b} = (-3+4; 6+(-6); 15+8)$

$3\vec{a} + 2\vec{b} = (1; 0; 23)$

Ответ: $(1; 0; 23)$

б) $-\vec{a} + 3\vec{b}$

Сначала найдем координаты вектора $-\vec{a}$:

$-\vec{a} = -1 \cdot (-1; 2; 5) = (-1 \cdot (-1); -1 \cdot 2; -1 \cdot 5) = (1; -2; -5)$

Затем найдем координаты вектора $3\vec{b}$:

$3\vec{b} = 3 \cdot (2; -3; 4) = (3 \cdot 2; 3 \cdot (-3); 3 \cdot 4) = (6; -9; 12)$

Теперь сложим полученные векторы:

$-\vec{a} + 3\vec{b} = (1; -2; -5) + (6; -9; 12)$

$-\vec{a} + 3\vec{b} = (1+6; -2+(-9); -5+12)$

$-\vec{a} + 3\vec{b} = (7; -11; 7)$

Ответ: $(7; -11; 7)$

25.11. Какому условию должны удовлетворять координаты вектора, чтобы он был:

а) перпендикулярен координатной плоскости $Oxy$;

б) параллелен координатной прямой $Ox$?

Дан произвольный вектор $\vec{v}$ в трехмерном пространстве с координатами $(x, y, z)$.

Условия, которым должны удовлетворять координаты $x, y, z$ вектора $\vec{v}$:

а) чтобы он был перпендикулярен координатной плоскости $Oxy$;

б) чтобы он был параллелен координатной прямой $Ox$.

а) перпендикулярен координатной плоскости $Oxy$

Координатная плоскость $Oxy$ — это плоскость, определяемая осями $Ox$ и $Oy$. Эта плоскость имеет уравнение $z=0$. Нормальным вектором к этой плоскости является любой вектор, параллельный оси $Oz$. Например, единичный вектор оси $Oz$ — это $\vec{k} = (0, 0, 1)$.

Если вектор $\vec{v} = (x, y, z)$ перпендикулярен плоскости $Oxy$, это означает, что он должен быть коллинеарен нормальному вектору к этой плоскости, то есть параллелен оси $Oz$. Вектор, параллельный оси $Oz$, не имеет компонент вдоль осей $Ox$ и $Oy$.

Следовательно, координаты $x$ и $y$ должны быть равны нулю:$x = 0$$y = 0$

Координата $z$ может быть любым действительным числом. Если вектор нулевой ($x=0, y=0, z=0$), он считается перпендикулярным любой плоскости. Если вектор ненулевой, то $z \ne 0$.

Ответ: Координаты вектора должны удовлетворять условиям $x=0$ и $y=0$.

б) параллелен координатной прямой $Ox$

Координатная прямая $Ox$ — это ось абсцисс. Вектор, параллельный оси $Ox$, имеет только компоненту вдоль этой оси.

Если вектор $\vec{v} = (x, y, z)$ параллелен координатной прямой $Ox$, это означает, что его компоненты по осям $Oy$ и $Oz$ должны быть равны нулю.

Следовательно, координаты $y$ и $z$ должны быть равны нулю:$y = 0$$z = 0$

Координата $x$ может быть любым действительным числом. Если вектор нулевой ($x=0, y=0, z=0$), он считается параллельным любой прямой. Если вектор ненулевой, то $x \ne 0$.

Ответ: Координаты вектора должны удовлетворять условиям $y=0$ и $z=0$.

25.12. Длина вектора равна трем. Найдите координаты вектора, если известно, что все они равны.

Дано:

Длина вектора: $|\vec{a}| = 3$.

Координаты вектора равны между собой.

Перевод в СИ:

Данная задача является математической, не требует перевода физических величин в систему СИ.

Найти:

Координаты вектора $\vec{a}$.

Решение:

1. В условии задачи не указана размерность пространства, в котором находится вектор. В таких случаях, если не указано иное, обычно предполагается, что речь идет о трехмерном пространстве. Пусть искомый вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(x, y, z)$.

2. Согласно условию задачи, все координаты вектора равны между собой. Обозначим каждую координату как $x$. Таким образом, вектор может быть записан как $\vec{a} = (x, x, x)$.

3. Длина (модуль) вектора в трехмерном пространстве с координатами $(x_1, x_2, x_3)$ определяется по формуле: $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}$.

4. Подставим в эту формулу известные значения длины вектора и то, что все его координаты равны $x$:

$3 = \sqrt{x^2 + x^2 + x^2}$

$3 = \sqrt{3x^2}$

5. Для того чтобы найти значение $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(3)^2 = (\sqrt{3x^2})^2$

$9 = 3x^2$

6. Разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 = \frac{9}{3}$

$x^2 = 3$

7. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. При этом необходимо учесть, что $x$ может быть как положительным, так и отрицательным:

$x = \pm\sqrt{3}$

8. Таким образом, существуют два возможных варианта для координат вектора:

a) Если $x = \sqrt{3}$, то координаты вектора: $(\sqrt{3}, \sqrt{3}, \sqrt{3})$.

b) Если $x = -\sqrt{3}$, то координаты вектора: $(-\sqrt{3}, -\sqrt{3}, -\sqrt{3})$.

Ответ:

Координаты вектора могут быть $(\sqrt{3}, \sqrt{3}, \sqrt{3})$ или $(-\sqrt{3}, -\sqrt{3}, -\sqrt{3})$.

25.13. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вершина $D$ — начало координат, ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях координат $Ox, Oy, Oz$ соответственно и $DC = 4, DA = 3, DD_1 = 2$ (рис. 25.5).

Найдите длину вектора:

а) $\overline{DB}$;

б) $\overline{DA_1}$;

в) $\overline{DC_1}$;

г) $\overline{DB_1}$;

д) $\overline{AB}$;

е) $\overline{AC}$;

ж) $\overline{AB_1}$;

з) $\overline{AD_1}$;

и) $\overline{AC_1}$.

Рис. 25.5

Дано: Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Вершина $D$ - начало координат: $D=(0,0,0)$.
Ребра $DC$, $DA$, $DD_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно.
Длины ребер: $DC = 4$, $DA = 3$, $DD_1 = 2$.

В данном случае перевод в систему СИ не требуется, так как заданы безразмерные длины.

Найти: Длину векторов: а) $\vec{DB}$; б) $\vec{DA_1}$; в) $\vec{DC_1}$; г) $\vec{DB_1}$; д) $\vec{AB}$; е) $\vec{AC}$; ж) $\vec{AB_1}$; з) $\vec{AD_1}$; и) $\vec{AC_1}$.

Решение:
Определим координаты всех вершин параллелепипеда. Так как $D=(0,0,0)$ и ребра $DC$, $DA$, $DD_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно, их длины определяют координаты вершин $C$, $A$, $D_1$:
$D = (0,0,0)$
$C = (DC, 0, 0) = (4,0,0)$
$A = (0, DA, 0) = (0,3,0)$
$D_1 = (0, 0, DD_1) = (0,0,2)$

Остальные вершины можно найти, используя свойства прямоугольного параллелепипеда:
$B = (DC, DA, 0) = (4,3,0)$
$A_1 = (0, DA, DD_1) = (0,3,2)$
$B_1 = (DC, DA, DD_1) = (4,3,2)$
$C_1 = (DC, 0, DD_1) = (4,0,2)$

Для нахождения длины вектора $\vec{PQ}$ с началом $P(x_P, y_P, z_P)$ и концом $Q(x_Q, y_Q, z_Q)$ используем формулу: $|\vec{PQ}| = \sqrt{(x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2 + (z_Q - z_P)^2}$.

а) $\overline{DB}$
Вектор $\vec{DB} = B - D = (4,3,0) - (0,0,0) = (4,3,0)$.
Длина вектора $|\vec{DB}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: $5$

б) $\overline{DA_1}$
Вектор $\vec{DA_1} = A_1 - D = (0,3,2) - (0,0,0) = (0,3,2)$.
Длина вектора $|\vec{DA_1}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 9 + 4} = \sqrt{13}$.
Ответ: $\sqrt{13}$

в) $\overline{DC_1}$
Вектор $\vec{DC_1} = C_1 - D = (4,0,2) - (0,0,0) = (4,0,2)$.
Длина вектора $|\vec{DC_1}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 0 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Ответ: $2\sqrt{5}$

г) $\overline{DB_1}$
Вектор $\vec{DB_1} = B_1 - D = (4,3,2) - (0,0,0) = (4,3,2)$.
Длина вектора $|\vec{DB_1}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}$.
Ответ: $\sqrt{29}$

д) $\overline{AB}$
Вектор $\vec{AB} = B - A = (4,3,0) - (0,3,0) = (4,0,0)$.
Длина вектора $|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: $4$

е) $\overline{AC}$
Вектор $\vec{AC} = C - A = (4,0,0) - (0,3,0) = (4,-3,0)$.
Длина вектора $|\vec{AC}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: $5$

ж) $\overline{AB_1}$
Вектор $\vec{AB_1} = B_1 - A = (4,3,2) - (0,3,0) = (4,0,2)$.
Длина вектора $|\vec{AB_1}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Ответ: $2\sqrt{5}$

з) $\overline{AD_1}$
Вектор $\vec{AD_1} = D_1 - A = (0,0,2) - (0,3,0) = (0,-3,2)$.
Длина вектора $|\vec{AD_1}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 9 + 4} = \sqrt{13}$.
Ответ: $\sqrt{13}$

и) $\overline{AC_1}$
Вектор $\vec{AC_1} = C_1 - A = (4,0,2) - (0,3,0) = (4,-3,2)$.
Длина вектора $|\vec{AC_1}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}$.
Ответ: $\sqrt{29}$

25.14. Найдите косинус угла между векторами $ \vec{a}_1(-1; 2; 2) $ и $ \vec{a}_2(3; 0; 4) $.

Дано:

$\vec{a_1} = (-1; 2; 2)$

$\vec{a_2} = (3; 0; 4)$

Найти:

$\cos \theta$

Решение:

Для нахождения косинуса угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{a_1}$ и $\vec{a_2}$ используем формулу:

$\cos \theta = \frac{\vec{a_1} \cdot \vec{a_2}}{|\vec{a_1}| |\vec{a_2}|}$

Сначала вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a_1}$ и $\vec{a_2}$:

$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = (-1)(3) + (2)(0) + (2)(4) = -3 + 0 + 8 = 5$

Затем вычислим длины (модули) каждого вектора:

$|\vec{a_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$

$|\vec{a_2}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Теперь подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \theta = \frac{5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$

Ответ: $1/3$

25.15. Найдите косинусы углов, которые образует вектор $\vec{a}(1; 1; 1)$ с координатными векторами.

Дано:

Вектор $\vec{e}(1; 1; 1)$.

Координатные векторы: $\vec{i}(1; 0; 0)$, $\vec{j}(0; 1; 0)$, $\vec{k}(0; 0; 1)$.

Найти:

Косинусы углов, которые образует вектор $\vec{e}$ с координатными векторами.

Решение:

Для нахождения косинуса угла между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ используется формула: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.

Сначала найдем модуль вектора $\vec{e}(1; 1; 1)$. Модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат:

$|\vec{e}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Модули координатных векторов $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ равны 1, так как они являются единичными векторами:

$|\vec{i}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$

$|\vec{j}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$

$|\vec{k}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$

Теперь вычислим скалярные произведения вектора $\vec{e}$ с каждым координатным вектором:

1. Скалярное произведение $\vec{e}$ и $\vec{i}$:

$\vec{e} \cdot \vec{i} = (1)(1) + (1)(0) + (1)(0) = 1$.

Косинус угла $\alpha_x$ между $\vec{e}$ и $\vec{i}$:

$\cos \alpha_x = \frac{\vec{e} \cdot \vec{i}}{|\vec{e}| |\vec{i}|} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

2. Скалярное произведение $\vec{e}$ и $\vec{j}$:

$\vec{e} \cdot \vec{j} = (1)(0) + (1)(1) + (1)(0) = 1$.

Косинус угла $\alpha_y$ между $\vec{e}$ и $\vec{j}$:

$\cos \alpha_y = \frac{\vec{e} \cdot \vec{j}}{|\vec{e}| |\vec{j}|} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

3. Скалярное произведение $\vec{e}$ и $\vec{k}$:

$\vec{e} \cdot \vec{k} = (1)(0) + (1)(0) + (1)(1) = 1$.

Косинус угла $\alpha_z$ между $\vec{e}$ и $\vec{k}$:

$\cos \alpha_z = \frac{\vec{e} \cdot \vec{k}}{|\vec{e}| |\vec{k}|} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ:

Косинусы углов, которые образует вектор $\vec{e}(1; 1; 1)$ с координатными векторами, равны $\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

25.16. Найдите косинусы углов, которые образует вектор $\vec{a}(1; 1; 1)$ с координатными плоскостями $Oxy, Oxz, Oyz$.

Дано

вектор $\vec{e} = (1; 1; 1)$.

координатные плоскости $Oxy$, $Oxz$, $Oyz$.

Найти

косинусы углов, которые образует вектор $\vec{e}$ с координатными плоскостями $Oxy$, $Oxz$, $Oyz$.

Решение

угол между вектором и плоскостью определяется как дополнительный до $90^\circ$ угол между вектором и нормалью к плоскости. если $\phi$ — угол между вектором $\vec{a}$ и плоскостью, а $\vec{n}$ — нормальный вектор к этой плоскости, то синус угла $\phi$ вычисляется по формуле:

$\sin \phi = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{a}| |\vec{n}|}$

поскольку угол $\phi$ между вектором и плоскостью по определению находится в диапазоне $[0, \frac{\pi}{2}]$, то его косинус можно найти по основному тригонометрическому тождеству:

$\cos \phi = \sqrt{1 - \sin^2 \phi}$

для начала найдем модуль вектора $\vec{e} = (1; 1; 1)$:

$|\vec{e}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

с плоскостью Oxy

нормальным вектором к плоскости $Oxy$ является вектор оси $z$, то есть $\vec{n}_{Oxy} = (0; 0; 1)$.

найдем скалярное произведение вектора $\vec{e}$ и нормального вектора $\vec{n}_{Oxy}$:

$\vec{e} \cdot \vec{n}_{Oxy} = (1)(0) + (1)(0) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1$

модуль нормального вектора $|\vec{n}_{Oxy}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.

теперь найдем синус угла $\phi_{Oxy}$ между вектором $\vec{e}$ и плоскостью $Oxy$:

$\sin \phi_{Oxy} = \frac{|\vec{e} \cdot \vec{n}_{Oxy}|}{|\vec{e}| |\vec{n}_{Oxy}|} = \frac{|1|}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

и, наконец, косинус угла $\phi_{Oxy}$:

$\cos \phi_{Oxy} = \sqrt{1 - \sin^2 \phi_{Oxy}} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{3 - 1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

с плоскостью Oxz

нормальным вектором к плоскости $Oxz$ является вектор оси $y$, то есть $\vec{n}_{Oxz} = (0; 1; 0)$.

найдем скалярное произведение вектора $\vec{e}$ и нормального вектора $\vec{n}_{Oxz}$:

$\vec{e} \cdot \vec{n}_{Oxz} = (1)(0) + (1)(1) + (1)(0) = 0 + 1 + 0 = 1$

модуль нормального вектора $|\vec{n}_{Oxz}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.

теперь найдем синус угла $\phi_{Oxz}$ между вектором $\vec{e}$ и плоскостью $Oxz$:

$\sin \phi_{Oxz} = \frac{|\vec{e} \cdot \vec{n}_{Oxz}|}{|\vec{e}| |\vec{n}_{Oxz}|} = \frac{|1|}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

и, наконец, косинус угла $\phi_{Oxz}$:

$\cos \phi_{Oxz} = \sqrt{1 - \sin^2 \phi_{Oxz}} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

с плоскостью Oyz

нормальным вектором к плоскости $Oyz$ является вектор оси $x$, то есть $\vec{n}_{Oyz} = (1; 0; 0)$.

найдем скалярное произведение вектора $\vec{e}$ и нормального вектора $\vec{n}_{Oyz}$:

$\vec{e} \cdot \vec{n}_{Oyz} = (1)(1) + (1)(0) + (1)(0) = 1 + 0 + 0 = 1$

модуль нормального вектора $|\vec{n}_{Oyz}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.

теперь найдем синус угла $\phi_{Oyz}$ между вектором $\vec{e}$ и плоскостью $Oyz$:

$\sin \phi_{Oyz} = \frac{|\vec{e} \cdot \vec{n}_{Oyz}|}{|\vec{e}| |\vec{n}_{Oyz}|} = \frac{|1|}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

и, наконец, косинус угла $\phi_{Oyz}$:

$\cos \phi_{Oyz} = \sqrt{1 - \sin^2 \phi_{Oyz}} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

координатным неизвестным $x,y,z$.

25.17. При каком значении $z$ векторы $\vec{a} = 3\vec{i} - 5\vec{j} + z\vec{k}$; $\vec{b} = -4\vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k}$ перпендикулярны?

Дано:

Вектор $\vec{a} = 3\vec{i} - 5\vec{j} + z\vec{k}$

Вектор $\vec{b} = -4\vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k}$

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны.

Перевод в СИ:

Данные представлены в безразмерной форме (компоненты векторов), перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Значение $z$.

Решение:

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов $\vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$ и $\vec{b} = b_x\vec{i} + b_y\vec{j} + b_z\vec{k}$ определяется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.

Из условия задачи имеем компоненты векторов:

$a_x = 3$, $a_y = -5$, $a_z = z$

$b_x = -4$, $b_y = -2$, $b_z = 1$

Так как векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Подставляем значения компонент в формулу скалярного произведения:

$(3) \cdot (-4) + (-5) \cdot (-2) + (z) \cdot (1) = 0$

Выполняем умножение:

$-12 + 10 + z = 0$

Складываем числовые значения:

$-2 + z = 0$

Решаем уравнение относительно $z$:

$z = 2$

Ответ:

$z = 2$

25.18. Докажите, что в треугольнике ABC, где $A (2; 1; 3)$, $B (1; 1; 4)$ и $C (0; 1; 3)$, угол B прямой.

Дано:

Вершины треугольника $ABC$ имеют следующие координаты:

$A = (2; 1; 3)$

$B = (1; 1; 4)$

$C = (0; 1; 3)$

Найти:

Доказать, что угол $B$ прямой.

Решение:

Для того чтобы доказать, что угол $B$ прямой, мы можем использовать скалярное произведение векторов. Если скалярное произведение векторов, исходящих из вершины $B$ ($\vec{BA}$ и $\vec{BC}$), равно нулю, то эти векторы перпендикулярны, и, следовательно, угол между ними равен $90^\circ$.

Найдем координаты вектора $\vec{BA}$:

$\vec{BA} = A - B = (x_A - x_B; y_A - y_B; z_A - z_B)$

$\vec{BA} = (2 - 1; 1 - 1; 3 - 4) = (1; 0; -1)$

Найдем координаты вектора $\vec{BC}$:

$\vec{BC} = C - B = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B)$

$\vec{BC} = (0 - 1; 1 - 1; 3 - 4) = (-1; 0; -1)$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (1)(-1) + (0)(0) + (-1)(-1)$

$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = -1 + 0 + 1$

$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0$

Так как скалярное произведение векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны. Следовательно, угол между ними, который является углом $B$ в треугольнике $ABC$, равен $90^\circ$ (прямой).

Ответ: Угол $B$ в треугольнике $ABC$ является прямым, так как скалярное произведение векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ равно нулю.