Номер 25.15, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

25.15. Найдите косинусы углов, которые образует вектор $\vec{a}(1; 1; 1)$ с координатными векторами.

Дано:

Вектор $\vec{e}(1; 1; 1)$.

Координатные векторы: $\vec{i}(1; 0; 0)$, $\vec{j}(0; 1; 0)$, $\vec{k}(0; 0; 1)$.

Найти:

Косинусы углов, которые образует вектор $\vec{e}$ с координатными векторами.

Решение:

Для нахождения косинуса угла между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ используется формула: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.

Сначала найдем модуль вектора $\vec{e}(1; 1; 1)$. Модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат:

$|\vec{e}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Модули координатных векторов $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ равны 1, так как они являются единичными векторами:

$|\vec{i}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$

$|\vec{j}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$

$|\vec{k}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$

Теперь вычислим скалярные произведения вектора $\vec{e}$ с каждым координатным вектором:

1. Скалярное произведение $\vec{e}$ и $\vec{i}$:

$\vec{e} \cdot \vec{i} = (1)(1) + (1)(0) + (1)(0) = 1$.

Косинус угла $\alpha_x$ между $\vec{e}$ и $\vec{i}$:

$\cos \alpha_x = \frac{\vec{e} \cdot \vec{i}}{|\vec{e}| |\vec{i}|} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

2. Скалярное произведение $\vec{e}$ и $\vec{j}$:

$\vec{e} \cdot \vec{j} = (1)(0) + (1)(1) + (1)(0) = 1$.

Косинус угла $\alpha_y$ между $\vec{e}$ и $\vec{j}$:

$\cos \alpha_y = \frac{\vec{e} \cdot \vec{j}}{|\vec{e}| |\vec{j}|} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

3. Скалярное произведение $\vec{e}$ и $\vec{k}$:

$\vec{e} \cdot \vec{k} = (1)(0) + (1)(0) + (1)(1) = 1$.

Косинус угла $\alpha_z$ между $\vec{e}$ и $\vec{k}$:

$\cos \alpha_z = \frac{\vec{e} \cdot \vec{k}}{|\vec{e}| |\vec{k}|} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ:

Косинусы углов, которые образует вектор $\vec{e}(1; 1; 1)$ с координатными векторами, равны $\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$.