Номер 25.21, страница 135 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

25.21. Повторите уравнение прямой на координатной плоскости.

Повторите уравнение прямой на координатной плоскости.

Уравнение прямой на координатной плоскости может быть представлено в нескольких формах, каждая из которых удобна для разных задач. Рассмотрим основные из них:

1. Общее уравнение прямой

Любая прямая на координатной плоскости может быть задана уравнением первого порядка: $Ax + By + C = 0$ где $A$, $B$, $C$ — постоянные коэффициенты, причем $A$ и $B$ не равны нулю одновременно. Вектор $\vec{n} = (A, B)$ является нормальным вектором (перпендикулярным) к прямой.

Ответ: $Ax + By + C = 0$

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если прямая не параллельна оси $Oy$ (то есть $B \neq 0$), ее уравнение можно привести к виду: $y = kx + b$ где $k$ — угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси $Ox$. То есть $k = \mathrm{tg}\, \alpha$. $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$. Если $B=0$, то уравнение прямой имеет вид $Ax + C = 0$, или $x = -C/A$, что соответствует прямой, параллельной оси $Oy$.

Ответ: $y = kx + b$

3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Если прямая проходит через две точки $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$, ее уравнение можно записать как: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$ Это уравнение справедливо при $x_1 \neq x_2$ и $y_1 \neq y_2$. Если $x_1 = x_2$, прямая вертикальна и ее уравнение $x = x_1$. Если $y_1 = y_2$, прямая горизонтальна и ее уравнение $y = y_1$.

Ответ: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом

Если прямая проходит через точку $M_0(x_0, y_0)$ и имеет угловой коэффициент $k$, ее уравнение: $y - y_0 = k(x - x_0)$

Ответ: $y - y_0 = k(x - x_0)$

5. Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает ось $Ox$ в точке $(a, 0)$ и ось $Oy$ в точке $(0, b)$, где $a \neq 0$ и $b \neq 0$, ее уравнение можно записать в виде: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ Здесь $a$ — отрезок, отсекаемый прямой на оси $Ox$, и $b$ — отрезок, отсекаемый прямой на оси $Oy$.

Ответ: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$