Номер 25.23, страница 135 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

25.23. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки с координатами $ (1; 0; 0) $, $ (0; 1; 0) $, $ (0; 0; 1) $.

Дано:

Три точки, через которые проходит плоскость:

$P_1 = (1, 0, 0)$

$P_2 = (0, 1, 0)$

$P_3 = (0, 0, 1)$

Найти:

Уравнение плоскости, проходящей через данные точки.

Решение:

Уравнение плоскости, проходящей через три не лежащие на одной прямой точки $(x_1, y_1, z_1)$, $(x_2, y_2, z_2)$ и $(x_3, y_3, z_3)$, можно найти, используя определитель:

$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0$

Подставим координаты данных точек $P_1(1, 0, 0)$, $P_2(0, 1, 0)$ и $P_3(0, 0, 1)$:

$x_1 = 1, y_1 = 0, z_1 = 0$

$x_2 = 0, y_2 = 1, z_2 = 0$

$x_3 = 0, y_3 = 0, z_3 = 1$

Вычислим разности координат для векторов $\vec{P_1P_2}$ и $\vec{P_1P_3}$:

$x_2 - x_1 = 0 - 1 = -1$

$y_2 - y_1 = 1 - 0 = 1$

$z_2 - z_1 = 0 - 0 = 0$

$x_3 - x_1 = 0 - 1 = -1$

$y_3 - y_1 = 0 - 0 = 0$

$z_3 - z_1 = 1 - 0 = 1$

Теперь подставим эти значения в определитель:

$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 0 & z - 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$

Раскроем определитель по первой строке:

$(x - 1) \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - y \cdot ((-1) \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + z \cdot ((-1) \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) = 0$

$(x - 1) \cdot 1 - y \cdot (-1) + z \cdot (1) = 0$

$x - 1 + y + z = 0$

$x + y + z - 1 = 0$

Поскольку данные точки $(1, 0, 0)$, $(0, 1, 0)$ и $(0, 0, 1)$ являются точками пересечения плоскости с осями координат, можно использовать уравнение плоскости в отрезках:

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Где $a, b, c$ - отрезки, отсекаемые плоскостью на осях $Ox, Oy, Oz$ соответственно. Из условий задачи имеем $a = 1$ (точка $(1,0,0)$), $b = 1$ (точка $(0,1,0)$), $c = 1$ (точка $(0,0,1)$).

Подставляем эти значения:

$\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1$

$x + y + z = 1$

Перенесем константу в левую часть:

$x + y + z - 1 = 0$

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ:

Уравнение плоскости: $x + y + z - 1 = 0$.