Страница 135 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

25.19. Докажите, что точки $A(2; 4; -4)$, $B(1; 1; -3)$, $C(-2; 0; 5)$, $D(-1; 3; 4)$ являются вершинами параллелограмма.

Дано

Точки:

A $(2; 4; -4)$

B $(1; 1; -3)$

C $(-2; 0; 5)$

D $(-1; 3; 4)$

Найти:

Доказать, что точки A, B, C, D являются вершинами параллелограмма.

Решение

Чтобы доказать, что четыре точки являются вершинами параллелограмма, достаточно показать, что их диагонали пересекаются в одной точке, то есть их середины совпадают. Найдем координаты середины отрезка AC. Пусть $M_{AC}$ — середина отрезка AC. Координаты середины отрезка с конечными точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ вычисляются по формуле: $M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right)$

Для точек A$(2; 4; -4)$ и C$(-2; 0; 5)$: $M_{AC} = \left(\frac{2 + (-2)}{2}, \frac{4 + 0}{2}, \frac{-4 + 5}{2}\right)$ $M_{AC} = \left(\frac{0}{2}, \frac{4}{2}, \frac{1}{2}\right)$ $M_{AC} = (0, 2, 0.5)$

Теперь найдем координаты середины отрезка BD. Пусть $M_{BD}$ — середина отрезка BD. Для точек B$(1; 1; -3)$ и D$(-1; 3; 4)$: $M_{BD} = \left(\frac{1 + (-1)}{2}, \frac{1 + 3}{2}, \frac{-3 + 4}{2}\right)$ $M_{BD} = \left(\frac{0}{2}, \frac{4}{2}, \frac{1}{2}\right)$ $M_{BD} = (0, 2, 0.5)$

Так как координаты середин диагоналей совпадают ($M_{AC} = M_{BD} = (0, 2, 0.5)$), это означает, что диагонали AC и BD пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Следовательно, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Ответ:

Точки A, B, C, D являются вершинами параллелограмма.

25.20. Вычислите, какую работу A производит сила $\vec{F}(-3; 4; 7)$, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения $M(5; -1; 2)$ в положение $N(2; 1; 3)$.

Дано:

сила $\vec{F} = (-3; 4; 7)$

начальное положение $M(5; -1; 2)$

конечное положение $N(2; 1; 3)$

Перевод в СИ:

Данные представлены в координатной форме. В условии не указаны единицы измерения, но для физической задачи, такой как вычисление работы, принято использовать единицы СИ. Будем считать, что компоненты вектора силы даны в Ньютонах (Н), а координаты точек - в метрах (м). В этом случае, работа будет вычислена в Джоулях (Дж).

Найти:

работа $A$

Решение:

Работа $A$, производимая постоянной силой $\vec{F}$ при прямолинейном перемещении, определяется как скалярное произведение вектора силы $\vec{F}$ на вектор перемещения $\vec{d}$.
Сначала найдем вектор перемещения $\vec{d}$, который представляет собой вектор, направленный из начальной точки $M$ в конечную точку $N$. Координаты вектора перемещения находятся как разность соответствующих координат конечной и начальной точек:
$\vec{d} = \vec{ON} - \vec{OM} = (x_N - x_M; y_N - y_M; z_N - z_M)$
Подставим координаты точек $M(5; -1; 2)$ и $N(2; 1; 3)$:
$d_x = 2 - 5 = -3$
$d_y = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$
$d_z = 3 - 2 = 1$
Таким образом, вектор перемещения $\vec{d}$ имеет координаты $(-3; 2; 1)$.
Теперь вычислим работу $A$ как скалярное произведение вектора силы $\vec{F} = (-3; 4; 7)$ и вектора перемещения $\vec{d} = (-3; 2; 1)$:
$A = \vec{F} \cdot \vec{d} = F_x d_x + F_y d_y + F_z d_z$
$A = (-3) \cdot (-3) + (4) \cdot (2) + (7) \cdot (1)$
$A = 9 + 8 + 7$
$A = 24$
Если компоненты силы были в Ньютонах, а координаты в метрах, то работа измеряется в Джоулях.

Ответ: 24

25.21. Повторите уравнение прямой на координатной плоскости.

Повторите уравнение прямой на координатной плоскости.

Уравнение прямой на координатной плоскости может быть представлено в нескольких формах, каждая из которых удобна для разных задач. Рассмотрим основные из них:

1. Общее уравнение прямой

Любая прямая на координатной плоскости может быть задана уравнением первого порядка: $Ax + By + C = 0$ где $A$, $B$, $C$ — постоянные коэффициенты, причем $A$ и $B$ не равны нулю одновременно. Вектор $\vec{n} = (A, B)$ является нормальным вектором (перпендикулярным) к прямой.

Ответ: $Ax + By + C = 0$

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если прямая не параллельна оси $Oy$ (то есть $B \neq 0$), ее уравнение можно привести к виду: $y = kx + b$ где $k$ — угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси $Ox$. То есть $k = \mathrm{tg}\, \alpha$. $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$. Если $B=0$, то уравнение прямой имеет вид $Ax + C = 0$, или $x = -C/A$, что соответствует прямой, параллельной оси $Oy$.

Ответ: $y = kx + b$

3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Если прямая проходит через две точки $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$, ее уравнение можно записать как: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$ Это уравнение справедливо при $x_1 \neq x_2$ и $y_1 \neq y_2$. Если $x_1 = x_2$, прямая вертикальна и ее уравнение $x = x_1$. Если $y_1 = y_2$, прямая горизонтальна и ее уравнение $y = y_1$.

Ответ: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом

Если прямая проходит через точку $M_0(x_0, y_0)$ и имеет угловой коэффициент $k$, ее уравнение: $y - y_0 = k(x - x_0)$

Ответ: $y - y_0 = k(x - x_0)$

5. Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает ось $Ox$ в точке $(a, 0)$ и ось $Oy$ в точке $(0, b)$, где $a \neq 0$ и $b \neq 0$, ее уравнение можно записать в виде: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ Здесь $a$ — отрезок, отсекаемый прямой на оси $Ox$, и $b$ — отрезок, отсекаемый прямой на оси $Oy$.

Ответ: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

25.22. По аналогии с уравнением прямой на координатной плоскости напишите уравнение плоскости в координатном пространстве.

Решение
Уравнение прямой на координатной плоскости (двумерном пространстве) в общем виде выражается как $Ax + By + C = 0$. Здесь $A$, $B$ и $C$ — константы, причём $A$ и $B$ не равны нулю одновременно. Вектор $(A, B)$ является нормальным вектором к прямой, то есть перпендикулярен ей.

По аналогии, для координатного пространства (трёхмерного пространства) уравнение плоскости будет содержать три координатные переменные $x$, $y$, $z$ и дополнительную константу. Оно также будет линейным.
Общее уравнение плоскости в координатном пространстве имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Здесь $A$, $B$, $C$ и $D$ — константы, причём $A$, $B$ и $C$ не равны нулю одновременно. Вектор $(A, B, C)$ является нормальным вектором к плоскости, то есть перпендикулярен ей.

Ответ: $Ax + By + Cz + D = 0$

25.23. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки с координатами $ (1; 0; 0) $, $ (0; 1; 0) $, $ (0; 0; 1) $.

Дано:

Три точки, через которые проходит плоскость:

$P_1 = (1, 0, 0)$

$P_2 = (0, 1, 0)$

$P_3 = (0, 0, 1)$

Найти:

Уравнение плоскости, проходящей через данные точки.

Решение:

Уравнение плоскости, проходящей через три не лежащие на одной прямой точки $(x_1, y_1, z_1)$, $(x_2, y_2, z_2)$ и $(x_3, y_3, z_3)$, можно найти, используя определитель:

$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0$

Подставим координаты данных точек $P_1(1, 0, 0)$, $P_2(0, 1, 0)$ и $P_3(0, 0, 1)$:

$x_1 = 1, y_1 = 0, z_1 = 0$

$x_2 = 0, y_2 = 1, z_2 = 0$

$x_3 = 0, y_3 = 0, z_3 = 1$

Вычислим разности координат для векторов $\vec{P_1P_2}$ и $\vec{P_1P_3}$:

$x_2 - x_1 = 0 - 1 = -1$

$y_2 - y_1 = 1 - 0 = 1$

$z_2 - z_1 = 0 - 0 = 0$

$x_3 - x_1 = 0 - 1 = -1$

$y_3 - y_1 = 0 - 0 = 0$

$z_3 - z_1 = 1 - 0 = 1$

Теперь подставим эти значения в определитель:

$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 0 & z - 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$

Раскроем определитель по первой строке:

$(x - 1) \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - y \cdot ((-1) \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + z \cdot ((-1) \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) = 0$

$(x - 1) \cdot 1 - y \cdot (-1) + z \cdot (1) = 0$

$x - 1 + y + z = 0$

$x + y + z - 1 = 0$

Поскольку данные точки $(1, 0, 0)$, $(0, 1, 0)$ и $(0, 0, 1)$ являются точками пересечения плоскости с осями координат, можно использовать уравнение плоскости в отрезках:

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Где $a, b, c$ - отрезки, отсекаемые плоскостью на осях $Ox, Oy, Oz$ соответственно. Из условий задачи имеем $a = 1$ (точка $(1,0,0)$), $b = 1$ (точка $(0,1,0)$), $c = 1$ (точка $(0,0,1)$).

Подставляем эти значения:

$\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1$

$x + y + z = 1$

Перенесем константу в левую часть:

$x + y + z - 1 = 0$

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ:

Уравнение плоскости: $x + y + z - 1 = 0$.