Страница 142 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Как можно задавать прямую в пространстве?

2. Какой вектор называется направляющим вектором прямой?

3. Какие уравнения прямой называются параметрическими?

1. Как можно задавать прямую в пространстве?

Прямую в пространстве можно задать следующими способами:

1.Векторное уравнение прямой: Прямая однозначно определяется заданной точкой $M_0(x_0, y_0, z_0)$ через которую она проходит, и заданным ненулевым направляющим вектором $\vec{a} = (l, m, n)$, параллельным прямой. Векторное уравнение прямой имеет вид $\vec{r} = \vec{r_0} + t\vec{a}$, где $\vec{r}$ — радиус-вектор произвольной точки $M(x, y, z)$ на прямой, $\vec{r_0}$ — радиус-вектор точки $M_0$, а $t$ — скалярный параметр, принимающий любые действительные значения.

2.Параметрические уравнения прямой: Из векторного уравнения прямой, если записать его в координатной форме, следуют параметрические уравнения:$x = x_0 + lt$$y = y_0 + mt$$z = z_0 + nt$где $t$ — параметр, $M_0(x_0, y_0, z_0)$ — точка на прямой, а $(l, m, n)$ — координаты направляющего вектора.

3.Канонические уравнения прямой: Если все координаты направляющего вектора $l, m, n$ отличны от нуля, то из параметрических уравнений можно выразить параметр $t$ и приравнять его значения, получив канонические уравнения прямой:$\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$

4.Как пересечение двух плоскостей: Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух непараллельных плоскостей. В этом случае ее уравнениями являются уравнения этих двух плоскостей, образующие систему:$\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}$где нормальные векторы плоскостей $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ не являются коллинеарными.

Ответ:

2. Какой вектор называется направляющим вектором прямой?

Направляющим вектором прямой называется любой ненулевой вектор, параллельный этой прямой. Он определяет направление прямой в пространстве.

Ответ:

3. Какие уравнения прямой называются параметрическими?

Параметрическими уравнениями прямой называются уравнения, которые выражают координаты $x, y, z$ каждой точки прямой через некий скалярный параметр $t$ (обычно, время или просто числовой параметр). Если прямая проходит через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{a} = (l, m, n)$, то ее параметрические уравнения имеют вид:$x = x_0 + lt$$y = y_0 + mt$$z = z_0 + nt$где $t \in (-\infty, +\infty)$. Каждому значению параметра $t$ соответствует единственная точка на прямой.

Ответ:

27.1. Напишите уравнения, которыми задаются координатные прямые:

а) $Ox$;

б) $Oy$;

в) $Oz$.

Дано

Координатные прямые: Ox, Oy, Oz.

Найти

Уравнения, которыми задаются координатные прямые.

Решение

а) Ox

Координатная прямая Ox (ось абсцисс) представляет собой множество точек в трехмерном пространстве, у которых координата $y$ и координата $z$ равны нулю. Таким образом, ее можно задать системой уравнений:

$y=0$
$z=0$

Ответ: $y=0$, $z=0$

б) Oy

Координатная прямая Oy (ось ординат) представляет собой множество точек в трехмерном пространстве, у которых координата $x$ и координата $z$ равны нулю. Таким образом, ее можно задать системой уравнений:

$x=0$
$z=0$

Ответ: $x=0$, $z=0$

в) Oz

Координатная прямая Oz (ось аппликат) представляет собой множество точек в трехмерном пространстве, у которых координата $x$ и координата $y$ равны нулю. Таким образом, ее можно задать системой уравнений:

$x=0$
$y=0$

Ответ: $x=0$, $y=0$

27.2. Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку $A(1; -2; 3)$ с направляющим вектором $\vec{e}(2; 3; -1)$.

Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A(1; -2; 3) с направляющим вектором $\vec{e}(2; 3; -1)$.

Дано:

Точка $A(1; -2; 3)$

Направляющий вектор $\vec{e}(2; 3; -1)$

Перевод данных в СИ: данные представлены в безразмерных координатах и компонентах векторов, перевод в СИ не требуется.

Найти:

Параметрические уравнения прямой.

Решение:

Общий вид параметрических уравнений прямой, проходящей через точку $P_0(x_0, y_0, z_0)$ с направляющим вектором $\vec{v}(a, b, c)$, определяется следующими формулами:

$x = x_0 + at$

$y = y_0 + bt$

$z = z_0 + ct$

где $t$ - это параметр.

В данной задаче задана точка $A(1; -2; 3)$, следовательно, $x_0 = 1$, $y_0 = -2$, $z_0 = 3$.

Направляющий вектор $\vec{e}(2; 3; -1)$, что означает $a = 2$, $b = 3$, $c = -1$.

Подставляя эти значения в формулы параметрических уравнений, получаем:

$x = 1 + 2t$

$y = -2 + 3t$

$z = 3 + (-1)t$

Упрощая последнее уравнение, имеем:

$z = 3 - t$

Таким образом, параметрические уравнения прямой:

$x = 1 + 2t$

$y = -2 + 3t$

$z = 3 - t$

Ответ:

Параметрические уравнения прямой: $x = 1 + 2t$, $y = -2 + 3t$, $z = 3 - t$.

27.3. Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точки $A_1(-2; 1; -3)$, $A_2(5; 4; 6)$.

Дано:

Точки $A_1(-2; 1; -3)$ и $A_2(5; 4; 6)$.

Найти:

Параметрические уравнения прямой, проходящей через $A_1$ и $A_2$.

Решение:

Для написания параметрических уравнений прямой необходимо знать точку, через которую проходит прямая, и ее направляющий вектор. В качестве точки можно выбрать любую из данных, например, $A_1(-2; 1; -3)$.

Направляющий вектор $\vec{v}$ прямой можно найти как вектор, соединяющий две данные точки, например, $\vec{A_1A_2}$.

Координаты направляющего вектора $\vec{v} = (a; b; c)$ определяются как разность координат конечной и начальной точек:

$a = x_2 - x_1 = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7$

$b = y_2 - y_1 = 4 - 1 = 3$

$c = z_2 - z_1 = 6 - (-3) = 6 + 3 = 9$

Таким образом, направляющий вектор $\vec{v} = (7; 3; 9)$.

Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку $(x_0; y_0; z_0)$ с направляющим вектором $(a; b; c)$, имеют вид:

$x = x_0 + at$

$y = y_0 + bt$

$z = z_0 + ct$

Подставляем координаты точки $A_1(-2; 1; -3)$ и направляющего вектора $\vec{v}(7; 3; 9)$:

$x = -2 + 7t$

$y = 1 + 3t$

$z = -3 + 9t$

Ответ:

$x = -2 + 7t$

$y = 1 + 3t$

$z = -3 + 9t$

27.4. Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку $M(1; 2; -3)$ и перпендикулярную плоскости $x + y + z + 1 = 0$.

Дано:

Точка $M(x_0, y_0, z_0) = M(1; 2; -3)$, через которую проходит прямая.

Уравнение плоскости: $x + y + z + 1 = 0$.

Прямая перпендикулярна плоскости.

Перевод в СИ: Данные представлены в безразмерных координатах, перевод в СИ не требуется.

Найти:

Параметрические уравнения прямой.

Решение:

Параметрические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ и имеющей направляющий вектор $\vec{v} = (a, b, c)$, записываются в виде:

$x = x_0 + at$

$y = y_0 + bt$

$z = z_0 + ct$

Из условия задачи нам дана точка $M(1; 2; -3)$, через которую проходит прямая. Следовательно, $x_0 = 1$, $y_0 = 2$, $z_0 = -3$.

Прямая перпендикулярна плоскости $x + y + z + 1 = 0$. Нормальный вектор плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ имеет координаты $\vec{n} = (A, B, C)$.

Для данной плоскости $x + y + z + 1 = 0$ коэффициенты $A=1$, $B=1$, $C=1$. Значит, нормальный вектор плоскости $\vec{n} = (1, 1, 1)$.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то ее направляющий вектор $\vec{v}$ коллинеарен нормальному вектору плоскости $\vec{n}$. Поэтому мы можем взять направляющий вектор прямой как $\vec{v} = \vec{n} = (1, 1, 1)$. Таким образом, $a=1$, $b=1$, $c=1$.

Подставляем значения $x_0, y_0, z_0$ и $a, b, c$ в параметрические уравнения прямой:

$x = 1 + 1 \cdot t$

$y = 2 + 1 \cdot t$

$z = -3 + 1 \cdot t$

Или, упрощая:

$x = 1 + t$

$y = 2 + t$

$z = -3 + t$

Ответ:

Параметрические уравнения прямой: $x = 1 + t$, $y = 2 + t$, $z = -3 + t$.

27.5. Определите взаимное расположение прямых, задаваемых уравнениями:

$\left\{\begin{matrix} x = 1 + 2t, & x = 3 + t, \\ y = 1 + t, & y = -8t, \\ z = 1 + 3t; & z = 4 + 2t. \end{matrix}\right.$

Дано:

Прямая $L_1$:$x = 1 + 2t$$y = 1 + t$$z = 1 + 3t$

Прямая $L_2$:$x = 3 + s$$y = -8s$$z = 4 + 2s$(Для параметра второй прямой используется переменная $s$, чтобы отличить её от $t$).

Найти: Взаимное расположение прямых $L_1$ и $L_2$.

Решение:

Для определения взаимного расположения двух прямых в пространстве необходимо проанализировать их направляющие векторы и проверить наличие общих точек.

1. Определение направляющих векторов и точек на прямых.

Параметрические уравнения прямой $L_1$ имеют вид $x = x_1 + a_1 t$, $y = y_1 + b_1 t$, $z = z_1 + c_1 t$.Для прямой $L_1$: точка $M_1 = (1, 1, 1)$, направляющий вектор $\vec{v_1} = (2, 1, 3)$.

Параметрические уравнения прямой $L_2$ имеют вид $x = x_2 + a_2 s$, $y = y_2 + b_2 s$, $z = z_2 + c_2 s$.Для прямой $L_2$: точка $M_2 = (3, 0, 4)$, направляющий вектор $\vec{v_2} = (1, -8, 2)$.

2. Проверка на параллельность.

Две прямые параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны, то есть $\vec{v_1} = k \cdot \vec{v_2}$ для некоторого скаляра $k$.Сравниваем компоненты векторов:$2 = k \cdot 1 \Rightarrow k = 2$$1 = k \cdot (-8) \Rightarrow k = -\frac{1}{8}$$3 = k \cdot 2 \Rightarrow k = \frac{3}{2}$Так как значения $k$ для разных компонент не совпадают ($2 \neq -\frac{1}{8} \neq \frac{3}{2}$), направляющие векторы не коллинеарны. Следовательно, прямые не параллельны.

3. Проверка на пересечение.

Если прямые не параллельны, они либо пересекаются, либо являются скрещивающимися. Чтобы проверить наличие точки пересечения, приравняем соответствующие координаты прямых:$1 + 2t = 3 + s \quad (1)$$1 + t = -8s \quad (2)$$1 + 3t = 4 + 2s \quad (3)$

Из уравнения (2) выразим $t$:$t = -8s - 1$

Подставим это выражение для $t$ в уравнение (1):$1 + 2(-8s - 1) = 3 + s$$1 - 16s - 2 = 3 + s$$-1 - 16s = 3 + s$$-1 - 3 = s + 16s$$-4 = 17s$$s = -\frac{4}{17}$

Теперь найдем значение $t$ с использованием найденного $s$:$t = -8\left(-\frac{4}{17}\right) - 1$$t = \frac{32}{17} - \frac{17}{17}$$t = \frac{15}{17}$

Подставим найденные значения $s$ и $t$ в третье уравнение (3) для проверки:Левая часть (LHS): $1 + 3t = 1 + 3\left(\frac{15}{17}\right) = 1 + \frac{45}{17} = \frac{17}{17} + \frac{45}{17} = \frac{62}{17}$

Правая часть (RHS): $4 + 2s = 4 + 2\left(-\frac{4}{17}\right) = 4 - \frac{8}{17} = \frac{68}{17} - \frac{8}{17} = \frac{60}{17}$

Так как $LHS \neq RHS$ ($ \frac{62}{17} \neq \frac{60}{17} $), система уравнений не имеет решения. Это означает, что прямые не пересекаются.

4. Вывод.

Поскольку прямые не параллельны и не пересекаются, они являются скрещивающимися.

Для подтверждения результата можно также использовать смешанное произведение векторов. Прямые являются скрещивающимися, если смешанное произведение векторов $\vec{M_1M_2}$, $\vec{v_1}$, $\vec{v_2}$ не равно нулю.Вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{M_1M_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (3 - 1, 0 - 1, 4 - 1) = (2, -1, 3)$.Вычислим смешанное произведение в виде определителя:$ \det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -8 & 2 \end{pmatrix} $$= 2 \cdot (1 \cdot 2 - 3 \cdot (-8)) - (-1) \cdot (2 \cdot 2 - 3 \cdot 1) + 3 \cdot (2 \cdot (-8) - 1 \cdot 1)$$= 2 \cdot (2 + 24) + 1 \cdot (4 - 3) + 3 \cdot (-16 - 1)$$= 2 \cdot 26 + 1 \cdot 1 + 3 \cdot (-17)$$= 52 + 1 - 51$$= 2$Так как смешанное произведение равно $2 \neq 0$, прямые являются скрещивающимися.

Ответ:

Скрещивающиеся.

27.6. Найдите координаты точки пересечения плоскости $2x - y + z - 6 = 0$ и прямой, проходящей через точки $A(-1; 0; 2)$ и $B(3; 1; 1)$.

Дано

Уравнение плоскости: $2x - y + z - 6 = 0$
Прямая проходит через точки $A(-1; 0; 2)$ и $B(3; 1; 1)$.

Найти:

Координаты точки пересечения плоскости и прямой.

Решение

Для нахождения координат точки пересечения плоскости и прямой необходимо сначала определить параметрические уравнения прямой, а затем подставить их в уравнение плоскости.

1.Нахождение направляющего вектора прямой.

Направляющий вектор $\vec{s}$ прямой, проходящей через точки $A(x_A, y_A, z_A)$ и $B(x_B, y_B, z_B)$, определяется как разность координат этих точек: $\vec{s} = \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$.

В нашем случае, $A(-1; 0; 2)$ и $B(3; 1; 1)$.

$\vec{s} = (3 - (-1); 1 - 0; 1 - 2) = (4; 1; -1)$.

2.Запись параметрических уравнений прямой.

Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку $A(x_A, y_A, z_A)$ с направляющим вектором $\vec{s}(s_x, s_y, s_z)$, имеют вид:

$x = x_A + s_x t$
$y = y_A + s_y t$
$z = z_A + s_z t$

Используя точку $A(-1; 0; 2)$ и направляющий вектор $\vec{s}(4; 1; -1)$, получаем:

$x = -1 + 4t$
$y = 0 + 1t = t$
$z = 2 + (-1)t = 2 - t$

3.Нахождение значения параметра $t$ для точки пересечения.

Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости $2x - y + z - 6 = 0$:

$2(-1 + 4t) - (t) + (2 - t) - 6 = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$-2 + 8t - t + 2 - t - 6 = 0$

Сгруппируем члены с $t$ и постоянные члены:

$(8t - t - t) + (-2 + 2 - 6) = 0$

$6t - 6 = 0$

Решим уравнение относительно $t$:

$6t = 6$
$t = 1$

4.Нахождение координат точки пересечения.

Подставим найденное значение $t = 1$ обратно в параметрические уравнения прямой:

$x = -1 + 4(1) = -1 + 4 = 3$
$y = 1$
$z = 2 - 1 = 1$

Таким образом, координаты точки пересечения плоскости и прямой - $(3; 1; 1)$. Интересно заметить, что это совпадают с координатами точки $B$. Это означает, что точка $B$ лежит на данной плоскости.

Ответ:

Координаты точки пересечения: $(3; 1; 1)$.

27.7. Точка движется прямолинейно и равномерно в направлении вектора $ \vec{e}(1; 2; 3) $. В начальный момент времени $ t = 0 $ она имела координаты $ (-1; 1; -2) $. Какие координаты она будет иметь в момент времени $ t = 4 $?

Дано:

Движение точки: прямолинейное и равномерное.

Направляющий вектор движения: $\vec{e} = (1; 2; 3)$

Начальный момент времени: $t_0 = 0$

Начальные координаты точки: $\vec{r_0} = (-1; 1; -2)$

Момент времени, для которого необходимо найти координаты: $t = 4$

Найти:

Координаты точки $\vec{r}(t)$ в момент времени $t = 4$.

Решение:

Поскольку движение точки является прямолинейным и равномерным, ее положение в любой момент времени $t$ может быть описано уравнением равномерного прямолинейного движения: $\vec{r}(t) = \vec{r_0} + \vec{v}(t - t_0)$

Здесь $\vec{r}(t)$ – радиус-вектор положения точки в момент времени $t$, $\vec{r_0}$ – радиус-вектор начального положения точки в начальный момент времени $t_0$, и $\vec{v}$ – вектор скорости точки.

Вектор скорости $\vec{v}$ направлен вдоль заданного вектора $\vec{e}$. Поскольку в задаче не указана величина скорости движения, но сказано, что движение происходит "в направлении вектора $\vec{e}(1; 2; 3)$", и движение является равномерным, в данном контексте предполагается, что вектор $\vec{e}$ представляет собой вектор смещения за единицу времени. То есть, мы принимаем $\vec{v} = \vec{e}$.

Таким образом, вектор скорости: $\vec{v} = (1; 2; 3)$.

Учитывая, что начальный момент времени $t_0 = 0$, уравнение движения принимает вид: $\vec{r}(t) = \vec{r_0} + \vec{v}t$

Подставим известные значения в это уравнение: Начальные координаты: $\vec{r_0} = (-1; 1; -2)$ Вектор скорости: $\vec{v} = (1; 2; 3)$ Момент времени: $t = 4$

Вычислим координаты точки в момент времени $t = 4$: $\vec{r}(4) = (-1; 1; -2) + (1; 2; 3) \times 4$

Сначала умножим вектор скорости на время: $(1; 2; 3) \times 4 = (1 \times 4; 2 \times 4; 3 \times 4) = (4; 8; 12)$

Теперь сложим начальные координаты с полученным вектором смещения: $\vec{r}(4) = (-1; 1; -2) + (4; 8; 12)$

Произведем сложение соответствующих компонент векторов: $x$-координата: $-1 + 4 = 3$ $y$-координата: $1 + 8 = 9$ $z$-координата: $-2 + 12 = 10$

Таким образом, координаты точки в момент времени $t = 4$ будут $(3; 9; 10)$.

Ответ: Координаты точки в момент времени $t=4$ будут $(3; 9; 10)$.

27.8. Параметрические уравнения движения материальной точки в пространстве имеют вид:

$\begin{cases}x = 1 + 2t, \\y = 2 - 2t, \\z = -3 + 1t.\end{cases}$

Найдите скорость движения этой точки.

Дано:

Параметрические уравнения движения материальной точки:

$x = 1 + 2t$

$y = 2 - 2t$

$z = -3 + 1t$

В данном случае перевод данных в систему СИ не требуется, так как значения представлены в безразмерной форме или уже подразумеваются в базовых единицах (метры и секунды).

Найти:

Скорость движения точки $v$.

Решение:

Для нахождения скорости движения точки необходимо найти производные от каждой координаты по времени, чтобы получить компоненты вектора скорости, а затем вычислить модуль этого вектора.

Вектор положения точки $\vec{r}(t)$ задается как $\vec{r}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k}$.

Компоненты вектора скорости $v_x$, $v_y$, $v_z$ находятся как производные соответствующих координат по времени:

$v_x = \frac{dx}{dt}$

$v_y = \frac{dy}{dt}$

$v_z = \frac{dz}{dt}$

Вычислим производные:

$v_x = \frac{d}{dt}(1 + 2t) = 2$

$v_y = \frac{d}{dt}(2 - 2t) = -2$

$v_z = \frac{d}{dt}(-3 + 1t) = 1$

Таким образом, вектор скорости $\vec{v}$ имеет компоненты $(2, -2, 1)$, то есть $\vec{v} = 2\vec{i} - 2\vec{j} + 1\vec{k}$.

Скорость движения точки (модуль вектора скорости) определяется по формуле:

$v = |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

Подставим найденные значения компонентов скорости:

$v = \sqrt{(2)^2 + (-2)^2 + (1)^2}$

$v = \sqrt{4 + 4 + 1}$

$v = \sqrt{9}$

$v = 3$

Ответ:

Скорость движения этой точки равна $3$ (единиц расстояния в единицу времени).