Номер 27.5, страница 142 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

27.5. Определите взаимное расположение прямых, задаваемых уравнениями:

$\left\{\begin{matrix} x = 1 + 2t, & x = 3 + t, \\ y = 1 + t, & y = -8t, \\ z = 1 + 3t; & z = 4 + 2t. \end{matrix}\right.$

Дано:

Прямая $L_1$:$x = 1 + 2t$$y = 1 + t$$z = 1 + 3t$

Прямая $L_2$:$x = 3 + s$$y = -8s$$z = 4 + 2s$(Для параметра второй прямой используется переменная $s$, чтобы отличить её от $t$).

Найти: Взаимное расположение прямых $L_1$ и $L_2$.

Решение:

Для определения взаимного расположения двух прямых в пространстве необходимо проанализировать их направляющие векторы и проверить наличие общих точек.

1. Определение направляющих векторов и точек на прямых.

Параметрические уравнения прямой $L_1$ имеют вид $x = x_1 + a_1 t$, $y = y_1 + b_1 t$, $z = z_1 + c_1 t$.Для прямой $L_1$: точка $M_1 = (1, 1, 1)$, направляющий вектор $\vec{v_1} = (2, 1, 3)$.

Параметрические уравнения прямой $L_2$ имеют вид $x = x_2 + a_2 s$, $y = y_2 + b_2 s$, $z = z_2 + c_2 s$.Для прямой $L_2$: точка $M_2 = (3, 0, 4)$, направляющий вектор $\vec{v_2} = (1, -8, 2)$.

2. Проверка на параллельность.

Две прямые параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны, то есть $\vec{v_1} = k \cdot \vec{v_2}$ для некоторого скаляра $k$.Сравниваем компоненты векторов:$2 = k \cdot 1 \Rightarrow k = 2$$1 = k \cdot (-8) \Rightarrow k = -\frac{1}{8}$$3 = k \cdot 2 \Rightarrow k = \frac{3}{2}$Так как значения $k$ для разных компонент не совпадают ($2 \neq -\frac{1}{8} \neq \frac{3}{2}$), направляющие векторы не коллинеарны. Следовательно, прямые не параллельны.

3. Проверка на пересечение.

Если прямые не параллельны, они либо пересекаются, либо являются скрещивающимися. Чтобы проверить наличие точки пересечения, приравняем соответствующие координаты прямых:$1 + 2t = 3 + s \quad (1)$$1 + t = -8s \quad (2)$$1 + 3t = 4 + 2s \quad (3)$

Из уравнения (2) выразим $t$:$t = -8s - 1$

Подставим это выражение для $t$ в уравнение (1):$1 + 2(-8s - 1) = 3 + s$$1 - 16s - 2 = 3 + s$$-1 - 16s = 3 + s$$-1 - 3 = s + 16s$$-4 = 17s$$s = -\frac{4}{17}$

Теперь найдем значение $t$ с использованием найденного $s$:$t = -8\left(-\frac{4}{17}\right) - 1$$t = \frac{32}{17} - \frac{17}{17}$$t = \frac{15}{17}$

Подставим найденные значения $s$ и $t$ в третье уравнение (3) для проверки:Левая часть (LHS): $1 + 3t = 1 + 3\left(\frac{15}{17}\right) = 1 + \frac{45}{17} = \frac{17}{17} + \frac{45}{17} = \frac{62}{17}$

Правая часть (RHS): $4 + 2s = 4 + 2\left(-\frac{4}{17}\right) = 4 - \frac{8}{17} = \frac{68}{17} - \frac{8}{17} = \frac{60}{17}$

Так как $LHS \neq RHS$ ($ \frac{62}{17} \neq \frac{60}{17} $), система уравнений не имеет решения. Это означает, что прямые не пересекаются.

4. Вывод.

Поскольку прямые не параллельны и не пересекаются, они являются скрещивающимися.

Для подтверждения результата можно также использовать смешанное произведение векторов. Прямые являются скрещивающимися, если смешанное произведение векторов $\vec{M_1M_2}$, $\vec{v_1}$, $\vec{v_2}$ не равно нулю.Вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{M_1M_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (3 - 1, 0 - 1, 4 - 1) = (2, -1, 3)$.Вычислим смешанное произведение в виде определителя:$ \det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -8 & 2 \end{pmatrix} $$= 2 \cdot (1 \cdot 2 - 3 \cdot (-8)) - (-1) \cdot (2 \cdot 2 - 3 \cdot 1) + 3 \cdot (2 \cdot (-8) - 1 \cdot 1)$$= 2 \cdot (2 + 24) + 1 \cdot (4 - 3) + 3 \cdot (-16 - 1)$$= 2 \cdot 26 + 1 \cdot 1 + 3 \cdot (-17)$$= 52 + 1 - 51$$= 2$Так как смешанное произведение равно $2 \neq 0$, прямые являются скрещивающимися.

Ответ:

Скрещивающиеся.