Задания, страница 141 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Запишите канонические уравнения прямой, проходящей через точки $A_1(x_1; y_1; z_1)$, $A_2(x_2; y_2; z_2)$.

Напишите формулу для косинуса угла между двумя прямыми с направляющими векторами $\vec{e_1}(k_1; l_1; m_1)$ и $\vec{e_2}(k_2; l_2; m_2)$.

Запишите канонические уравнения прямой, проходящей через точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂).

Канонические уравнения прямой, проходящей через две точки $A_1(x_1; y_1; z_1)$ и $A_2(x_2; y_2; z_2)$, определяются с помощью одной из этих точек (например, $A_1$) и направляющего вектора, которым может быть вектор $\vec{A_1A_2}$.

Координаты направляющего вектора $\vec{A_1A_2}$ равны разности соответствующих координат точек: $(x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.

Таким образом, канонические уравнения прямой имеют вид:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$

Ответ: Канонические уравнения прямой: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$.

Напишите формулу для косинуса угла между двумя прямыми с направляющими векторами →e₁(k₁; l₁; m₁) и →e₂(k₂; l₂; m₂).

Косинус угла $\theta$ между двумя прямыми, заданными их направляющими векторами $\vec{e_1}(k_1; l_1; m_1)$ и $\vec{e_2}(k_2; l_2; m_2)$, определяется через скалярное произведение этих векторов и их модули.

Формула скалярного произведения двух векторов $\vec{e_1}$ и $\vec{e_2}$ выглядит как: $\vec{e_1} \cdot \vec{e_2} = |\vec{e_1}| \cdot |\vec{e_2}| \cdot \cos\theta$

Из этой формулы выражаем косинус угла: $\cos\theta = \frac{\vec{e_1} \cdot \vec{e_2}}{|\vec{e_1}| \cdot |\vec{e_2}|}$

Скалярное произведение векторов в координатной форме: $\vec{e_1} \cdot \vec{e_2} = k_1k_2 + l_1l_2 + m_1m_2$

Модули (длины) векторов: $|\vec{e_1}| = \sqrt{k_1^2 + l_1^2 + m_1^2}$ $|\vec{e_2}| = \sqrt{k_2^2 + l_2^2 + m_2^2}$

Подставляя эти выражения в формулу для косинуса угла, получаем:

$\cos\theta = \frac{k_1k_2 + l_1l_2 + m_1m_2}{\sqrt{k_1^2 + l_1^2 + m_1^2} \sqrt{k_2^2 + l_2^2 + m_2^2}}$

Ответ: Формула для косинуса угла: $\cos\theta = \frac{k_1k_2 + l_1l_2 + m_1m_2}{\sqrt{k_1^2 + l_1^2 + m_1^2} \sqrt{k_2^2 + l_2^2 + m_2^2}}$.