Номер 26.21, страница 139 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26.21. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вершина $D$ — начало координат, ребра $DC$, $DA$, $DD_1$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно и $DC = 3$, $DA = 2$, $DD_1 = 1$. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $ACD_1$.

Дано

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Вершина $D$ - начало координат $(0,0,0)$.

Ребра $DC$, $DA$, $DD_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно.

Длины ребер: $DC = 3$, $DA = 2$, $DD_1 = 1$.

Перевод в СИ

Все данные представлены в единых относительных единицах измерения длины. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти

Расстояние от точки $D$ до плоскости $ACD_1$.

Решение

1.Определение координат вершин.

Так как вершина $D$ является началом координат $(0,0,0)$, и ребра $DC$, $DA$, $DD_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно, то координаты точек будут:

• $D = (0,0,0)$
• $C = (DC, 0, 0) = (3,0,0)$
• $A = (0, DA, 0) = (0,2,0)$
• $D_1 = (0, 0, DD_1) = (0,0,1)$

2.Нахождение уравнения плоскости $ACD_1$.

Для нахождения уравнения плоскости $ACD_1$, проходящей через точки $A(0,2,0)$, $C(3,0,0)$ и $D_1(0,0,1)$, найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AC}$ и $\vec{AD_1}$.

$\vec{AC} = C - A = (3-0, 0-2, 0-0) = (3, -2, 0)$

$\vec{AD_1} = D_1 - A = (0-0, 0-2, 1-0) = (0, -2, 1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению $\vec{AC} \times \vec{AD_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2) \cdot 1 - 0 \cdot (-2)) - \mathbf{j}(3 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(3 \cdot (-2) - (-2) \cdot 0)$

$\vec{n} = \mathbf{i}(-2 - 0) - \mathbf{j}(3 - 0) + \mathbf{k}(-6 - 0)$

$\vec{n} = -2\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 6\mathbf{k}$

Таким образом, вектор нормали $\vec{n} = (-2, -3, -6)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + K = 0$. Подставим компоненты вектора нормали: $-2x - 3y - 6z + K = 0$.

Для нахождения $K$ подставим координаты одной из точек, принадлежащих плоскости, например $A(0,2,0)$:

$-2(0) - 3(2) - 6(0) + K = 0$

$-6 + K = 0$

$K = 6$

Уравнение плоскости $ACD_1$ имеет вид $-2x - 3y - 6z + 6 = 0$.

Умножив на $-1$, получим $2x + 3y + 6z - 6 = 0$.

3.Вычисление расстояния от точки $D(0,0,0)$ до плоскости $ACD_1$.

Расстояние $d$ от точки $P_0(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D_{plane} = 0$ определяется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D_{plane}|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае, точка $D(0,0,0)$, и уравнение плоскости $2x + 3y + 6z - 6 = 0$.

$x_0 = 0, y_0 = 0, z_0 = 0$

$A = 2, B = 3, C = 6, D_{plane} = -6$

Подставим значения в формулу:

$d = \frac{|2(0) + 3(0) + 6(0) - 6|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2}}$

$d = \frac{|-6|}{\sqrt{4 + 9 + 36}}$

$d = \frac{6}{\sqrt{49}}$

$d = \frac{6}{7}$

Ответ: Расстояние от точки $D$ до плоскости $ACD_1$ равно $\frac{6}{7}$.