Номер 26.15, страница 138 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26.15. В прямоугольном параллелепипеде $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, вершина $D$ — начало координат, ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях координат $Ox, Oy, Oz$ соответственно и $DC = 3, DA = 2, DD_1 = 1$. Найдите косинус угла между плоскостями:

a) $ABC$ и $ACD_1$;

б) $ADD_1$ и $ACD_1$;

в) $CDD_1$ и $ACD_1$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Вершина $D$ - начало координат $D(0,0,0)$.

Ребра $DC$, $DA$, $DD_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно.

$DC = 3$

$DA = 2$

$DD_1 = 1$

Перевод в СИ:

Данные величины являются безразмерными длинами сторон параллелепипеда, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

• а) косинус угла между плоскостями $ABC$ и $ACD_1$;
• б) косинус угла между плоскостями $ADD_1$ и $ACD_1$;
• в) косинус угла между плоскостями $CDD_1$ и $ACD_1$.

Решение:

Зададим координаты вершин параллелепипеда, исходя из условия, что $D$ - начало координат, а ребра $DC$, $DA$, $DD_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно:

• $D(0,0,0)$
• $C(3,0,0)$ (так как $DC=3$ и лежит на $Ox$)
• $A(0,2,0)$ (так как $DA=2$ и лежит на $Oy$)
• $D_1(0,0,1)$ (так как $DD_1=1$ и лежит на $Oz$)
• $B(3,2,0)$
• $A_1(0,2,1)$
• $C_1(3,0,1)$
• $B_1(3,2,1)$

Для нахождения косинуса угла между двумя плоскостями необходимо найти нормальные векторы этих плоскостей. Если $n_1$ и $n_2$ - нормальные векторы плоскостей, то косинус угла $\theta$ между плоскостями находится по формуле: $\cos \theta = \frac{|n_1 \cdot n_2|}{|n_1||n_2|}$.

Найдем нормальный вектор плоскости $ACD_1$. Точки плоскости: $A(0,2,0)$, $C(3,0,0)$, $D_1(0,0,1)$.

Векторы, лежащие в плоскости $ACD_1$:

• $\vec{AC} = C - A = (3-0, 0-2, 0-0) = (3, -2, 0)$
• $\vec{AD_1} = D_1 - A = (0-0, 0-2, 1-0) = (0, -2, 1)$

Нормальный вектор $n_{ACD_1}$ равен векторному произведению $\vec{AC} \times \vec{AD_1}$:

$n_{ACD_1} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{vmatrix} = i((-2)(1) - (0)(-2)) - j((3)(1) - (0)(0)) + k((3)(-2) - (-2)(0))$

$n_{ACD_1} = -2i - 3j - 6k = (-2, -3, -6)$

Модуль нормального вектора $n_{ACD_1}$: $|n_{ACD_1}| = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.

а) ABC и ACD₁

Плоскость $ABC$ является плоскостью основания параллелепипеда. Поскольку ребра $DA$ и $DC$ лежат на осях $Oy$ и $Ox$ соответственно, плоскость $ABC$ совпадает с координатной плоскостью $Oxy$ (уравнение $z=0$).

Нормальный вектор плоскости $ABC$ (обозначим $n_{ABC}$) перпендикулярен плоскости $Oxy$, поэтому его можно взять как $n_{ABC} = (0, 0, 1)$. Модуль $|n_{ABC}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$.

Нормальный вектор плоскости $ACD_1$ равен $n_{ACD_1} = (-2, -3, -6)$. Модуль $|n_{ACD_1}| = 7$.

Скалярное произведение нормальных векторов: $n_{ABC} \cdot n_{ACD_1} = (0)(-2) + (0)(-3) + (1)(-6) = -6$.

Косинус угла между плоскостями $ABC$ и $ACD_1$:

$\cos \theta_a = \frac{|n_{ABC} \cdot n_{ACD_1}|}{|n_{ABC}||n_{ACD_1}|} = \frac{|-6|}{1 \cdot 7} = \frac{6}{7}$

Ответ: $\frac{6}{7}$

б) ADD₁ и ACD₁

Плоскость $ADD_1$ является боковой гранью параллелепипеда. Поскольку ребра $DA$ и $DD_1$ лежат на осях $Oy$ и $Oz$ соответственно, плоскость $ADD_1$ совпадает с координатной плоскостью $Oyz$ (уравнение $x=0$).

Нормальный вектор плоскости $ADD_1$ (обозначим $n_{ADD_1}$) перпендикулярен плоскости $Oyz$, поэтому его можно взять как $n_{ADD_1} = (1, 0, 0)$. Модуль $|n_{ADD_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$.

Нормальный вектор плоскости $ACD_1$ равен $n_{ACD_1} = (-2, -3, -6)$. Модуль $|n_{ACD_1}| = 7$.

Скалярное произведение нормальных векторов: $n_{ADD_1} \cdot n_{ACD_1} = (1)(-2) + (0)(-3) + (0)(-6) = -2$.

Косинус угла между плоскостями $ADD_1$ и $ACD_1$:

$\cos \theta_b = \frac{|n_{ADD_1} \cdot n_{ACD_1}|}{|n_{ADD_1}||n_{ACD_1}|} = \frac{|-2|}{1 \cdot 7} = \frac{2}{7}$

Ответ: $\frac{2}{7}$

в) CDD₁ и ACD₁

Плоскость $CDD_1$ является боковой гранью параллелепипеда. Поскольку ребра $DC$ и $DD_1$ лежат на осях $Ox$ и $Oz$ соответственно, плоскость $CDD_1$ совпадает с координатной плоскостью $Oxz$ (уравнение $y=0$).

Нормальный вектор плоскости $CDD_1$ (обозначим $n_{CDD_1}$) перпендикулярен плоскости $Oxz$, поэтому его можно взять как $n_{CDD_1} = (0, 1, 0)$. Модуль $|n_{CDD_1}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.

Нормальный вектор плоскости $ACD_1$ равен $n_{ACD_1} = (-2, -3, -6)$. Модуль $|n_{ACD_1}| = 7$.

Скалярное произведение нормальных векторов: $n_{CDD_1} \cdot n_{ACD_1} = (0)(-2) + (1)(-3) + (0)(-6) = -3$.

Косинус угла между плоскостями $CDD_1$ и $ACD_1$:

$\cos \theta_c = \frac{|n_{CDD_1} \cdot n_{ACD_1}|}{|n_{CDD_1}||n_{ACD_1}|} = \frac{|-3|}{1 \cdot 7} = \frac{3}{7}$

Ответ: $\frac{3}{7}$