Номер 26.8, страница 137 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26.8. Определите, какие из перечисленных ниже пар плоскостей параллельны между собой:

а) $x + y + z - 1 = 0$, $x + y + z + 1 = 0$;

б) $x + y + z - 1 = 0$, $x + y - z - 1 = 0$;

в) $-7x + y + 2z = 0$, $7x - y - 2z - 5 = 0$;

г) $2x + 4y + 6z - 8 = 0$, $-x - 2y - 3z + 4 = 0$.

Пары уравнений плоскостей:

a) $x + y + z - 1 = 0$, $x + y + z + 1 = 0$

б) $x + y + z - 1 = 0$, $x + y - z - 1 = 0$

в) $-7x + y + 2z = 0$, $7x - y - 2z - 5 = 0$

г) $2x + 4y + 6z - 8 = 0$, $-x - 2y - 3z + 4 = 0$

Перевод данных в систему СИ: Координаты являются безразмерными величинами в рамках данной геометрической задачи.

Пары плоскостей, которые параллельны между собой.

Две плоскости, заданные общими уравнениями $A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0$ и $A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0$, параллельны, если их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ коллинеарны. Это означает, что их соответствующие коэффициенты пропорциональны: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = k$, где $k$ - некоторая константа. Если при этом $\frac{D_1}{D_2} = k$, то плоскости совпадают (это частный случай параллельности). Если же $\frac{D_1}{D_2} \neq k$, то плоскости строго параллельны и не совпадают.

а) Уравнения плоскостей: $x + y + z - 1 = 0$ и $x + y + z + 1 = 0$.

Нормальный вектор первой плоскости: $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$.

Нормальный вектор второй плоскости: $\vec{n_2} = (1, 1, 1)$.

Сравним коэффициенты при $x, y, z$: $\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = \frac{1}{1} = 1$. Нормальные векторы коллинеарны.

Сравним свободные члены: $D_1 = -1$, $D_2 = 1$. Отношение $\frac{D_1}{D_2} = \frac{-1}{1} = -1$.

Так как $1 \neq -1$, плоскости параллельны, но не совпадают.

Ответ: Параллельны.

б) Уравнения плоскостей: $x + y + z - 1 = 0$ и $x + y - z - 1 = 0$.

Нормальный вектор первой плоскости: $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$.

Нормальный вектор второй плоскости: $\vec{n_2} = (1, 1, -1)$.

Сравним коэффициенты: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{1} = 1$, $\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{1} = 1$, но $\frac{C_1}{C_2} = \frac{1}{-1} = -1$.

Поскольку отношения коэффициентов не равны ($\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$), нормальные векторы не коллинеарны. Следовательно, плоскости не параллельны.

Ответ: Не параллельны.

в) Уравнения плоскостей: $-7x + y + 2z = 0$ и $7x - y - 2z - 5 = 0$.

Нормальный вектор первой плоскости: $\vec{n_1} = (-7, 1, 2)$.

Нормальный вектор второй плоскости: $\vec{n_2} = (7, -1, -2)$.

Сравним коэффициенты при $x, y, z$: $\frac{-7}{7} = -1$, $\frac{1}{-1} = -1$, $\frac{2}{-2} = -1$. Все отношения равны $-1$. Нормальные векторы коллинеарны.

Сравним свободные члены: $D_1 = 0$, $D_2 = -5$. Отношение $\frac{D_1}{D_2} = \frac{0}{-5} = 0$.

Так как $-1 \neq 0$, плоскости параллельны, но не совпадают.

Ответ: Параллельны.

г) Уравнения плоскостей: $2x + 4y + 6z - 8 = 0$ и $-x - 2y - 3z + 4 = 0$.

Нормальный вектор первой плоскости: $\vec{n_1} = (2, 4, 6)$.

Нормальный вектор второй плоскости: $\vec{n_2} = (-1, -2, -3)$.

Сравним коэффициенты при $x, y, z$: $\frac{2}{-1} = -2$, $\frac{4}{-2} = -2$, $\frac{6}{-3} = -2$. Все отношения равны $-2$. Нормальные векторы коллинеарны.

Сравним свободные члены: $D_1 = -8$, $D_2 = 4$. Отношение $\frac{D_1}{D_2} = \frac{-8}{4} = -2$.

Так как все отношения равны одному и тому же значению $(-2)$, плоскости совпадают. Совпадающие плоскости являются частным случаем параллельных плоскостей.

Ответ: Параллельны (совпадают).