Номер 26.6, страница 137 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26.6. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вершина $D$ — начало координат, ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях координат $Ox, Oy, Oz$ соответственно (рис. 26.3). Напишите уравнения плоскостей, содержащих грани этого куба.

Рис. 26.3

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает, что длина его ребра $a = 1$ единица.

Вершина $D$ является началом координат: $D = (0,0,0)$.

Ребро $DC$ лежит на оси $Ox$.

Ребро $DA$ лежит на оси $Oy$.

Ребро $DD_1$ лежит на оси $Oz$.

Найти:

Уравнения плоскостей, содержащих грани этого куба.

Решение:

Поскольку вершина $D$ является началом координат $(0,0,0)$ и куб единичный (длина ребра $a=1$), а ребра $DC$, $DA$, $DD_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно, мы можем определить координаты всех вершин куба:

• $D = (0,0,0)$
• $C = (1,0,0)$ (вдоль оси $Ox$)
• $A = (0,1,0)$ (вдоль оси $Oy$)
• $D_1 = (0,0,1)$ (вдоль оси $Oz$)
• $B = A + \vec{DC} = (0,1,0) + (1,0,0) = (1,1,0)$
• $A_1 = A + \vec{DD_1} = (0,1,0) + (0,0,1) = (0,1,1)$
• $C_1 = C + \vec{DD_1} = (1,0,0) + (0,0,1) = (1,0,1)$
• $B_1 = B + \vec{DD_1} = (1,1,0) + (0,0,1) = (1,1,1)$

Куб имеет 6 граней. Поскольку его ребра параллельны координатным осям, каждая грань будет лежать в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей ($Oxy$, $Oxz$, или $Oyz$).

Грань $ABCD$

Эта грань является нижней гранью куба. Ее вершины: $D(0,0,0)$, $C(1,0,0)$, $B(1,1,0)$, $A(0,1,0)$. Все эти точки имеют $z$-координату, равную $0$. Следовательно, эта грань лежит в координатной плоскости $Oxy$.

Уравнение плоскости: $z = 0$.

Ответ: $z = 0$

Грань $A_1B_1C_1D_1$

Эта грань является верхней гранью куба. Ее вершины: $D_1(0,0,1)$, $C_1(1,0,1)$, $B_1(1,1,1)$, $A_1(0,1,1)$. Все эти точки имеют $z$-координату, равную $1$. Эта плоскость параллельна плоскости $Oxy$ и проходит через $z=1$.

Уравнение плоскости: $z = 1$.

Ответ: $z = 1$

Грань $ADDA_1$

Эта грань является одной из боковых граней куба (вдоль оси $Oy$). Ее вершины: $D(0,0,0)$, $A(0,1,0)$, $A_1(0,1,1)$, $D_1(0,0,1)$. Все эти точки имеют $x$-координату, равную $0$. Следовательно, эта грань лежит в координатной плоскости $Oyz$.

Уравнение плоскости: $x = 0$.

Ответ: $x = 0$

Грань $BCC_1B_1$

Эта грань является противоположной боковой гранью куба (также вдоль оси $Oy$). Ее вершины: $B(1,1,0)$, $C(1,0,0)$, $C_1(1,0,1)$, $B_1(1,1,1)$. Все эти точки имеют $x$-координату, равную $1$. Эта плоскость параллельна плоскости $Oyz$ и проходит через $x=1$.

Уравнение плоскости: $x = 1$.

Ответ: $x = 1$

Грань $CDD_1C_1$

Эта грань является еще одной боковой гранью куба (вдоль оси $Ox$). Ее вершины: $C(1,0,0)$, $D(0,0,0)$, $D_1(0,0,1)$, $C_1(1,0,1)$. Все эти точки имеют $y$-координату, равную $0$. Следовательно, эта грань лежит в координатной плоскости $Oxz$.

Уравнение плоскости: $y = 0$.

Ответ: $y = 0$

Грань $ABB_1A_1$

Эта грань является противоположной боковой гранью куба (также вдоль оси $Ox$). Ее вершины: $A(0,1,0)$, $B(1,1,0)$, $B_1(1,1,1)$, $A_1(0,1,1)$. Все эти точки имеют $y$-координату, равную $1$. Эта плоскость параллельна плоскости $Oxz$ и проходит через $y=1$.

Уравнение плоскости: $y = 1$.

Ответ: $y = 1$

Ответ:

Уравнения плоскостей, содержащих грани куба, следующие:

• $z = 0$ (для грани $ABCD$)
• $z = 1$ (для грани $A_1B_1C_1D_1$)
• $x = 0$ (для грани $ADDA_1$)
• $x = 1$ (для грани $BCC_1B_1$)
• $y = 0$ (для грани $CDD_1C_1$)
• $y = 1$ (для грани $ABB_1A_1$)