Номер 26.10, страница 138 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26.10. Найдите косинус угла между плоскостями, заданными уравнениями:

а) $x + y + z + 1 = 0, x + y - z - 1 = 0;$

б) $2x + 3y + 6z - 5 = 0, 4x + 4y + 2z - 7 = 0.$

a)

Дано

Уравнения плоскостей:
$\Pi_1: x + y + z + 1 = 0$
$\Pi_2: x + y - z - 1 = 0$

Перевод в СИ

Коэффициенты уравнений плоскостей являются безразмерными величинами, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Косинус угла между плоскостями, $\cos \theta$.

Решение

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Вектор нормали к плоскости $\vec{n}$ имеет координаты $(A, B, C)$. Косинус угла $\theta$ между двумя плоскостями определяется как абсолютное значение косинуса угла между их нормальными векторами $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ по формуле:

$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$

где $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}$ - скалярное произведение векторов, а $||\vec{n_1}||$ и $||\vec{n_2}||$ - их длины.

1. Определим нормальные векторы для каждой плоскости:
Для плоскости $\Pi_1: x + y + z + 1 = 0$, нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$.
Для плоскости $\Pi_2: x + y - z - 1 = 0$, нормальный вектор $\vec{n_2} = (1, 1, -1)$.

2. Вычислим скалярное произведение нормальных векторов:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(1) + (1)(1) + (1)(-1) = 1 + 1 - 1 = 1$.

3. Вычислим длины (модули) нормальных векторов:
$||\vec{n_1}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.
$||\vec{n_2}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

4. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos \theta = \frac{|1|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $1/3$

б)

Дано

Уравнения плоскостей:
$\Pi_1: 2x + 3y + 6z - 5 = 0$
$\Pi_2: 4x + 4y + 2z - 7 = 0$

Перевод в СИ

Коэффициенты уравнений плоскостей являются безразмерными величинами, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Косинус угла между плоскостями, $\cos \theta$.

Решение

Используем ту же формулу, что и в пункте а):

$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$

1. Определим нормальные векторы для каждой плоскости:
Для плоскости $\Pi_1: 2x + 3y + 6z - 5 = 0$, нормальный вектор $\vec{n_1} = (2, 3, 6)$.
Для плоскости $\Pi_2: 4x + 4y + 2z - 7 = 0$, нормальный вектор $\vec{n_2} = (4, 4, 2)$.

2. Вычислим скалярное произведение нормальных векторов:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(4) + (3)(4) + (6)(2) = 8 + 12 + 12 = 32$.

3. Вычислим длины (модули) нормальных векторов:
$||\vec{n_1}|| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$||\vec{n_2}|| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$.

4. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos \theta = \frac{|32|}{7 \cdot 6} = \frac{32}{42} = \frac{16}{21}$.

Ответ: $16/21$