Номер 26.9, страница 138 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26.9. Перпендикулярны ли плоскости:

а) $y + z + 1 = 0$ и $y - z + 1 = 0$;

б) $2x - 5y + z + 4 = 0$ и $3x + 2y + 4z - 1 = 0$;

в) $7x - y + 9 = 0$ и $y + 2z - 3 = 0$?

Дано:
Плоскости заданы общими уравнениями: $A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0$ и $A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0$.

Найти:
Проверить, перпендикулярны ли данные пары плоскостей.

Решение:
Две плоскости перпендикулярны, если их нормальные векторы ортогональны. Нормальный вектор к плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ имеет координаты $\vec{n} = (A, B, C)$. Два вектора $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2 = 0$.

a)

Дано:
Плоскость 1: $y + z + 1 = 0$
Плоскость 2: $y - z + 1 = 0$

Найти:
Проверить, перпендикулярны ли плоскости.

Решение:
Для первой плоскости $y + z + 1 = 0$ (или $0x + 1y + 1z + 1 = 0$) нормальный вектор $\vec{n_1} = (0, 1, 1)$.
Для второй плоскости $y - z + 1 = 0$ (или $0x + 1y - 1z + 1 = 0$) нормальный вектор $\vec{n_2} = (0, 1, -1)$.
Вычислим скалярное произведение нормальных векторов: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(0) + (1)(1) + (1)(-1) = 0 + 1 - 1 = 0$. Так как скалярное произведение равно нулю, плоскости перпендикулярны.

Ответ: Плоскости перпендикулярны.

б)

Дано:
Плоскость 1: $2x - 5y + z + 4 = 0$
Плоскость 2: $3x + 2y + 4z - 1 = 0$

Найти:
Проверить, перпендикулярны ли плоскости.

Решение:
Для первой плоскости $2x - 5y + z + 4 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_1} = (2, -5, 1)$.
Для второй плоскости $3x + 2y + 4z - 1 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_2} = (3, 2, 4)$.
Вычислим скалярное произведение нормальных векторов: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(3) + (-5)(2) + (1)(4) = 6 - 10 + 4 = 0$. Так как скалярное произведение равно нулю, плоскости перпендикулярны.

Ответ: Плоскости перпендикулярны.

в)

Дано:
Плоскость 1: $7x - y + 9 = 0$
Плоскость 2: $y + 2z - 3 = 0$

Найти:
Проверить, перпендикулярны ли плоскости.

Решение:
Для первой плоскости $7x - y + 9 = 0$ (или $7x - 1y + 0z + 9 = 0$) нормальный вектор $\vec{n_1} = (7, -1, 0)$.
Для второй плоскости $y + 2z - 3 = 0$ (или $0x + 1y + 2z - 3 = 0$) нормальный вектор $\vec{n_2} = (0, 1, 2)$.
Вычислим скалярное произведение нормальных векторов: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (7)(0) + (-1)(1) + (0)(2) = 0 - 1 + 0 = -1$. Так как скалярное произведение не равно нулю, плоскости не перпендикулярны.

Ответ: Плоскости не перпендикулярны.