Номер 26.5, страница 137 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26.5. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку $M(-1; 2; 1)$, с вектором нормали $\vec{n}$, имеющим координаты:

а) $(0; -5; 2)$;

б) $(6; -1; 3)$;

в) $(-4; -2; -1)$;

г) $(-3; -8; 0)$.

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку $M(x_0, y_0, z_0)$ с вектором нормали $\vec{n}(A, B, C)$, используется формула общего уравнения плоскости:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

В данной задаче точка $M$ имеет координаты $M(-1; 2; 1)$, то есть $x_0 = -1$, $y_0 = 2$, $z_0 = 1$. Координаты вектора нормали $\vec{n}(A, B, C)$ заданы для каждого подпункта.

a) (0; -5; 2)

Дано:

Точка $M(-1; 2; 1)$

Вектор нормали $\vec{n}(0; -5; 2)$, то есть $A=0$, $B=-5$, $C=2$.

Найти:

Уравнение плоскости.

Решение:

Подставим значения в формулу $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$:

$0(x - (-1)) + (-5)(y - 2) + 2(z - 1) = 0$

$0(x + 1) - 5(y - 2) + 2(z - 1) = 0$

$-5y + 10 + 2z - 2 = 0$

$-5y + 2z + 8 = 0$

Для удобства можно умножить все на $-1$:

$5y - 2z - 8 = 0$

Ответ:

$5y - 2z - 8 = 0$

б) (6; -1; 3)

Дано:

Точка $M(-1; 2; 1)$

Вектор нормали $\vec{n}(6; -1; 3)$, то есть $A=6$, $B=-1$, $C=3$.

Найти:

Уравнение плоскости.

Решение:

Подставим значения в формулу $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$:

$6(x - (-1)) + (-1)(y - 2) + 3(z - 1) = 0$

$6(x + 1) - (y - 2) + 3(z - 1) = 0$

$6x + 6 - y + 2 + 3z - 3 = 0$

$6x - y + 3z + 5 = 0$

Ответ:

$6x - y + 3z + 5 = 0$

в) (-4; -2; -1)

Дано:

Точка $M(-1; 2; 1)$

Вектор нормали $\vec{n}(-4; -2; -1)$, то есть $A=-4$, $B=-2$, $C=-1$.

Найти:

Уравнение плоскости.

Решение:

Подставим значения в формулу $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$:

$-4(x - (-1)) + (-2)(y - 2) + (-1)(z - 1) = 0$

$-4(x + 1) - 2(y - 2) - (z - 1) = 0$

$-4x - 4 - 2y + 4 - z + 1 = 0$

$-4x - 2y - z + 1 = 0$

Для удобства можно умножить все на $-1$:

$4x + 2y + z - 1 = 0$

Ответ:

$4x + 2y + z - 1 = 0$

г) (-3; -8; 0)

Дано:

Точка $M(-1; 2; 1)$

Вектор нормали $\vec{n}(-3; -8; 0)$, то есть $A=-3$, $B=-8$, $C=0$.

Найти:

Уравнение плоскости.

Решение:

Подставим значения в формулу $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$:

$-3(x - (-1)) + (-8)(y - 2) + 0(z - 1) = 0$

$-3(x + 1) - 8(y - 2) + 0 = 0$

$-3x - 3 - 8y + 16 = 0$

$-3x - 8y + 13 = 0$

Для удобства можно умножить все на $-1$:

$3x + 8y - 13 = 0$

Ответ:

$3x + 8y - 13 = 0$