Вопросы, страница 137 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Каким уравнением задается плоскость в пространстве?

2. Какой вектор называется вектором нормали плоскости?

3. В каком случае два уравнения определяют параллельные плоскости в пространстве?

4. В каком случае два уравнения определяют одну и ту же плоскость в пространстве?

5. В каком случае два уравнения определяют перпендикулярные плоскости в пространстве?

6. Как можно вычислить угол между двумя плоскостями с заданными уравнениями?

1. Каким уравнением задается плоскость в пространстве?

Решение

Плоскость в пространстве (в декартовых прямоугольных координатах) задается общим линейным уравнением:

$Ax + By + Cz + D = 0$

где $A, B, C$ – это координаты вектора нормали к плоскости (причем хотя бы один из коэффициентов $A, B, C$ не равен нулю), а $D$ – свободный член.

Ответ: Общее линейное уравнение плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$.

2. Какой вектор называется вектором нормали плоскости?

Решение

Вектором нормали к плоскости называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный (ортогональный) этой плоскости. Для плоскости, заданной уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, вектор $\vec{n} = (A, B, C)$ является вектором нормали.

Ответ: Вектор, перпендикулярный (ортогональный) плоскости.

3. В каком случае два уравнения определяют параллельные плоскости в пространстве?

Решение

Две плоскости, заданные уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, являются параллельными, если их векторы нормали $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ коллинеарны (параллельны). Это означает, что их соответствующие коэффициенты пропорциональны:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$

При этом, чтобы плоскости были строго параллельными и не совпадали, должно выполняться дополнительное условие, что это отношение не равно отношению свободных членов:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2}$

Ответ: Два уравнения определяют параллельные плоскости, если их векторы нормали коллинеарны, но при этом отношения всех соответствующих коэффициентов не равны отношению свободных членов (т.е. плоскости не совпадают).

4. В каком случае два уравнения определяют одну и ту же плоскость в пространстве?

Решение

Два уравнения $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ определяют одну и ту же плоскость в пространстве, если их соответствующие коэффициенты пропорциональны, включая свободные члены:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}$

Ответ: Два уравнения определяют одну и ту же плоскость, если все соответствующие коэффициенты (включая свободный член) пропорциональны.

5. В каком случае два уравнения определяют перпендикулярные плоскости в пространстве?

Решение

Две плоскости, заданные уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, являются перпендикулярными, если их векторы нормали $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ ортогональны (перпендикулярны). Это условие выражается через их скалярное произведение, которое должно быть равно нулю:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \quad \text{или} \quad A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$

Ответ: Два уравнения определяют перпендикулярные плоскости, если скалярное произведение их векторов нормали равно нулю.

6. Как можно вычислить угол между двумя плоскостями с заданными уравнениями?

Решение

Угол между двумя плоскостями определяется как острый угол между их векторами нормали. Пусть уравнения плоскостей: $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$. Их векторы нормали: $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$. Косинус угла $\phi$ между плоскостями вычисляется по формуле:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$

Развернуто это можно записать как:

$\cos \phi = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$

Где $|\cdot|$ обозначает модуль (абсолютное значение) скалярного произведения, чтобы полученный угол $\phi$ был острым ($0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}$). Затем угол $\phi$ можно найти как арккосинус полученного значения.

Ответ: Угол между двумя плоскостями вычисляется как острый угол между их векторами нормали с использованием формулы косинуса угла между векторами.