Страница 137 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Каким уравнением задается плоскость в пространстве?

2. Какой вектор называется вектором нормали плоскости?

3. В каком случае два уравнения определяют параллельные плоскости в пространстве?

4. В каком случае два уравнения определяют одну и ту же плоскость в пространстве?

5. В каком случае два уравнения определяют перпендикулярные плоскости в пространстве?

6. Как можно вычислить угол между двумя плоскостями с заданными уравнениями?

1. Каким уравнением задается плоскость в пространстве?

Решение

Плоскость в пространстве (в декартовых прямоугольных координатах) задается общим линейным уравнением:

$Ax + By + Cz + D = 0$

где $A, B, C$ – это координаты вектора нормали к плоскости (причем хотя бы один из коэффициентов $A, B, C$ не равен нулю), а $D$ – свободный член.

Ответ: Общее линейное уравнение плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$.

2. Какой вектор называется вектором нормали плоскости?

Решение

Вектором нормали к плоскости называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный (ортогональный) этой плоскости. Для плоскости, заданной уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, вектор $\vec{n} = (A, B, C)$ является вектором нормали.

Ответ: Вектор, перпендикулярный (ортогональный) плоскости.

3. В каком случае два уравнения определяют параллельные плоскости в пространстве?

Решение

Две плоскости, заданные уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, являются параллельными, если их векторы нормали $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ коллинеарны (параллельны). Это означает, что их соответствующие коэффициенты пропорциональны:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$

При этом, чтобы плоскости были строго параллельными и не совпадали, должно выполняться дополнительное условие, что это отношение не равно отношению свободных членов:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2}$

Ответ: Два уравнения определяют параллельные плоскости, если их векторы нормали коллинеарны, но при этом отношения всех соответствующих коэффициентов не равны отношению свободных членов (т.е. плоскости не совпадают).

4. В каком случае два уравнения определяют одну и ту же плоскость в пространстве?

Решение

Два уравнения $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ определяют одну и ту же плоскость в пространстве, если их соответствующие коэффициенты пропорциональны, включая свободные члены:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}$

Ответ: Два уравнения определяют одну и ту же плоскость, если все соответствующие коэффициенты (включая свободный член) пропорциональны.

5. В каком случае два уравнения определяют перпендикулярные плоскости в пространстве?

Решение

Две плоскости, заданные уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, являются перпендикулярными, если их векторы нормали $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ ортогональны (перпендикулярны). Это условие выражается через их скалярное произведение, которое должно быть равно нулю:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \quad \text{или} \quad A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$

Ответ: Два уравнения определяют перпендикулярные плоскости, если скалярное произведение их векторов нормали равно нулю.

6. Как можно вычислить угол между двумя плоскостями с заданными уравнениями?

Решение

Угол между двумя плоскостями определяется как острый угол между их векторами нормали. Пусть уравнения плоскостей: $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$. Их векторы нормали: $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$. Косинус угла $\phi$ между плоскостями вычисляется по формуле:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$

Развернуто это можно записать как:

$\cos \phi = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$

Где $|\cdot|$ обозначает модуль (абсолютное значение) скалярного произведения, чтобы полученный угол $\phi$ был острым ($0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}$). Затем угол $\phi$ можно найти как арккосинус полученного значения.

Ответ: Угол между двумя плоскостями вычисляется как острый угол между их векторами нормали с использованием формулы косинуса угла между векторами.

26.1. Найдите координаты вектора нормали для плоскости:

a) $5x - y - 1 = 0$;

б) $3x + 18z - 6 = 0$;

в) $15x + y - 8z + 14 = 0$;

г) $x - 3y + 15z = 0$.

a)

Дано:

Уравнение плоскости: $5x - y - 1 = 0$

Найти:

Координаты вектора нормали $\vec{n}$.

Решение:

Общее уравнение плоскости в пространстве имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Вектор нормали к плоскости определяется коэффициентами при $x$, $y$, $z$, то есть $\vec{n} = (A, B, C)$.

Для уравнения $5x - y - 1 = 0$ коэффициенты следующие:

$A = 5$

$B = -1$ (так как $-y$ это $-1 \cdot y$)

$C = 0$ (так как член с $z$ отсутствует)

Следовательно, координаты вектора нормали $\vec{n} = (5, -1, 0)$.

Ответ: $\vec{n} = (5, -1, 0)$

б)

Дано:

Уравнение плоскости: $3x + 18z - 6 = 0$

Найти:

Координаты вектора нормали $\vec{n}$.

Решение:

Общее уравнение плоскости в пространстве имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Вектор нормали к плоскости определяется коэффициентами при $x$, $y$, $z$, то есть $\vec{n} = (A, B, C)$.

Для уравнения $3x + 18z - 6 = 0$ коэффициенты следующие:

$A = 3$

$B = 0$ (так как член с $y$ отсутствует)

$C = 18$

Следовательно, координаты вектора нормали $\vec{n} = (3, 0, 18)$.

Ответ: $\vec{n} = (3, 0, 18)$

в)

Дано:

Уравнение плоскости: $15x + y - 8z + 14 = 0$

Найти:

Координаты вектора нормали $\vec{n}$.

Решение:

Общее уравнение плоскости в пространстве имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Вектор нормали к плоскости определяется коэффициентами при $x$, $y$, $z$, то есть $\vec{n} = (A, B, C)$.

Для уравнения $15x + y - 8z + 14 = 0$ коэффициенты следующие:

$A = 15$

$B = 1$ (так как $y$ это $1 \cdot y$)

$C = -8$

Следовательно, координаты вектора нормали $\vec{n} = (15, 1, -8)$.

Ответ: $\vec{n} = (15, 1, -8)$

г)

Дано:

Уравнение плоскости: $x - 3y + 15z = 0$

Найти:

Координаты вектора нормали $\vec{n}$.

Решение:

Общее уравнение плоскости в пространстве имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Вектор нормали к плоскости определяется коэффициентами при $x$, $y$, $z$, то есть $\vec{n} = (A, B, C)$.

Для уравнения $x - 3y + 15z = 0$ коэффициенты следующие:

$A = 1$ (так как $x$ это $1 \cdot x$)

$B = -3$

$C = 15$

Следовательно, координаты вектора нормали $\vec{n} = (1, -3, 15)$.

Ответ: $\vec{n} = (1, -3, 15)$

26.2. Напишите уравнение координатной плоскости:

а) $Oxy$;

б) $Oxz$;

в) $Oyz$.

Дано: Трехмерная прямоугольная система координат $Oxyz$.

Найти: Уравнения координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz.

Решение

a) Oxy

Координатная плоскость Oxy - это плоскость, которая содержит оси Ox и Oy. Все точки, лежащие в этой плоскости, имеют нулевую z-координату (аппликату).

Ответ: Уравнение плоскости Oxy: $z=0$.

б) Oxz

Координатная плоскость Oxz - это плоскость, которая содержит оси Ox и Oz. Все точки, лежащие в этой плоскости, имеют нулевую y-координату (ординату).

Ответ: Уравнение плоскости Oxz: $y=0$.

в) Oyz

Координатная плоскость Oyz - это плоскость, которая содержит оси Oy и Oz. Все точки, лежащие в этой плоскости, имеют нулевую x-координату (абсциссу).

Ответ: Уравнение плоскости Oyz: $x=0$.

26.3. Даны точки $A(3; 2; 5)$, $B(-1; -2; 2)$, $C(7; 0; -9)$. Укажите, какие из них принадлежат плоскости $2x - 3y + z - 5 = 0$.

Дано

Точки: $A(3; 2; 5)$, $B(-1; -2; 2)$, $C(7; 0; -9)$.

Уравнение плоскости: $2x - 3y + z - 5 = 0$.

Найти:

Какие из данных точек принадлежат плоскости.

Решение

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка плоскости, необходимо подставить координаты этой точки в уравнение плоскости. Если уравнение обратится в верное равенство (левая часть равна правой), то точка принадлежит плоскости.

Проверим точку $A(3; 2; 5)$:

$2(3) - 3(2) + 5 - 5 = 6 - 6 + 5 - 5 = 0$

Так как $0 = 0$, точка $A$ принадлежит плоскости.

Проверим точку $B(-1; -2; 2)$:

$2(-1) - 3(-2) + 2 - 5 = -2 + 6 + 2 - 5 = 4 + 2 - 5 = 6 - 5 = 1$

Так как $1 \neq 0$, точка $B$ не принадлежит плоскости.

Проверим точку $C(7; 0; -9)$:

$2(7) - 3(0) + (-9) - 5 = 14 - 0 - 9 - 5 = 14 - 14 = 0$

Так как $0 = 0$, точка $C$ принадлежит плоскости.

Ответ: Точки $A(3; 2; 5)$ и $C(7; 0; -9)$ принадлежат плоскости $2x - 3y + z - 5 = 0$.

26.4. Дана плоскость $x + 2y - 3z - 1 = 0$. Найдите ее точки пересечения с осями координат.

Дано

Уравнение плоскости: $x + 2y - 3z - 1 = 0$.

Найти:

Точки пересечения плоскости с осями координат.

Решение

Для нахождения точек пересечения плоскости с осями координат, мы поочередно приравниваем к нулю две из трех координат, поскольку точки на координатных осях имеют две нулевые координаты.

Пересечение с осью Ox:

На оси Ox координаты $y=0$ и $z=0$. Подставим эти значения в уравнение плоскости:

$x + 2(0) - 3(0) - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Точка пересечения с осью Ox: $(1, 0, 0)$.

Пересечение с осью Oy:

На оси Oy координаты $x=0$ и $z=0$. Подставим эти значения в уравнение плоскости:

$0 + 2y - 3(0) - 1 = 0$

$2y - 1 = 0$

$2y = 1$

$y = \frac{1}{2}$

Точка пересечения с осью Oy: $(0, \frac{1}{2}, 0)$.

Пересечение с осью Oz:

На оси Oz координаты $x=0$ и $y=0$. Подставим эти значения в уравнение плоскости:

$0 + 2(0) - 3z - 1 = 0$

$-3z - 1 = 0$

$-3z = 1$

$z = -\frac{1}{3}$

Точка пересечения с осью Oz: $(0, 0, -\frac{1}{3})$.

Ответ:

Точки пересечения плоскости $x + 2y - 3z - 1 = 0$ с осями координат:с осью Ox: $(1, 0, 0)$;с осью Oy: $(0, \frac{1}{2}, 0)$;с осью Oz: $(0, 0, -\frac{1}{3})$.

26.5. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку $M(-1; 2; 1)$, с вектором нормали $\vec{n}$, имеющим координаты:

а) $(0; -5; 2)$;

б) $(6; -1; 3)$;

в) $(-4; -2; -1)$;

г) $(-3; -8; 0)$.

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку $M(x_0, y_0, z_0)$ с вектором нормали $\vec{n}(A, B, C)$, используется формула общего уравнения плоскости:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

В данной задаче точка $M$ имеет координаты $M(-1; 2; 1)$, то есть $x_0 = -1$, $y_0 = 2$, $z_0 = 1$. Координаты вектора нормали $\vec{n}(A, B, C)$ заданы для каждого подпункта.

a) (0; -5; 2)

Дано:

Точка $M(-1; 2; 1)$

Вектор нормали $\vec{n}(0; -5; 2)$, то есть $A=0$, $B=-5$, $C=2$.

Найти:

Уравнение плоскости.

Решение:

Подставим значения в формулу $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$:

$0(x - (-1)) + (-5)(y - 2) + 2(z - 1) = 0$

$0(x + 1) - 5(y - 2) + 2(z - 1) = 0$

$-5y + 10 + 2z - 2 = 0$

$-5y + 2z + 8 = 0$

Для удобства можно умножить все на $-1$:

$5y - 2z - 8 = 0$

Ответ:

$5y - 2z - 8 = 0$

б) (6; -1; 3)

Дано:

Точка $M(-1; 2; 1)$

Вектор нормали $\vec{n}(6; -1; 3)$, то есть $A=6$, $B=-1$, $C=3$.

Найти:

Уравнение плоскости.

Решение:

Подставим значения в формулу $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$:

$6(x - (-1)) + (-1)(y - 2) + 3(z - 1) = 0$

$6(x + 1) - (y - 2) + 3(z - 1) = 0$

$6x + 6 - y + 2 + 3z - 3 = 0$

$6x - y + 3z + 5 = 0$

Ответ:

$6x - y + 3z + 5 = 0$

в) (-4; -2; -1)

Дано:

Точка $M(-1; 2; 1)$

Вектор нормали $\vec{n}(-4; -2; -1)$, то есть $A=-4$, $B=-2$, $C=-1$.

Найти:

Уравнение плоскости.

Решение:

Подставим значения в формулу $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$:

$-4(x - (-1)) + (-2)(y - 2) + (-1)(z - 1) = 0$

$-4(x + 1) - 2(y - 2) - (z - 1) = 0$

$-4x - 4 - 2y + 4 - z + 1 = 0$

$-4x - 2y - z + 1 = 0$

Для удобства можно умножить все на $-1$:

$4x + 2y + z - 1 = 0$

Ответ:

$4x + 2y + z - 1 = 0$

г) (-3; -8; 0)

Дано:

Точка $M(-1; 2; 1)$

Вектор нормали $\vec{n}(-3; -8; 0)$, то есть $A=-3$, $B=-8$, $C=0$.

Найти:

Уравнение плоскости.

Решение:

Подставим значения в формулу $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$:

$-3(x - (-1)) + (-8)(y - 2) + 0(z - 1) = 0$

$-3(x + 1) - 8(y - 2) + 0 = 0$

$-3x - 3 - 8y + 16 = 0$

$-3x - 8y + 13 = 0$

Для удобства можно умножить все на $-1$:

$3x + 8y - 13 = 0$

Ответ:

$3x + 8y - 13 = 0$

26.6. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вершина $D$ — начало координат, ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях координат $Ox, Oy, Oz$ соответственно (рис. 26.3). Напишите уравнения плоскостей, содержащих грани этого куба.

Рис. 26.3

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает, что длина его ребра $a = 1$ единица.

Вершина $D$ является началом координат: $D = (0,0,0)$.

Ребро $DC$ лежит на оси $Ox$.

Ребро $DA$ лежит на оси $Oy$.

Ребро $DD_1$ лежит на оси $Oz$.

Найти:

Уравнения плоскостей, содержащих грани этого куба.

Решение:

Поскольку вершина $D$ является началом координат $(0,0,0)$ и куб единичный (длина ребра $a=1$), а ребра $DC$, $DA$, $DD_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно, мы можем определить координаты всех вершин куба:

• $D = (0,0,0)$
• $C = (1,0,0)$ (вдоль оси $Ox$)
• $A = (0,1,0)$ (вдоль оси $Oy$)
• $D_1 = (0,0,1)$ (вдоль оси $Oz$)
• $B = A + \vec{DC} = (0,1,0) + (1,0,0) = (1,1,0)$
• $A_1 = A + \vec{DD_1} = (0,1,0) + (0,0,1) = (0,1,1)$
• $C_1 = C + \vec{DD_1} = (1,0,0) + (0,0,1) = (1,0,1)$
• $B_1 = B + \vec{DD_1} = (1,1,0) + (0,0,1) = (1,1,1)$

Куб имеет 6 граней. Поскольку его ребра параллельны координатным осям, каждая грань будет лежать в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей ($Oxy$, $Oxz$, или $Oyz$).

Грань $ABCD$

Эта грань является нижней гранью куба. Ее вершины: $D(0,0,0)$, $C(1,0,0)$, $B(1,1,0)$, $A(0,1,0)$. Все эти точки имеют $z$-координату, равную $0$. Следовательно, эта грань лежит в координатной плоскости $Oxy$.

Уравнение плоскости: $z = 0$.

Ответ: $z = 0$

Грань $A_1B_1C_1D_1$

Эта грань является верхней гранью куба. Ее вершины: $D_1(0,0,1)$, $C_1(1,0,1)$, $B_1(1,1,1)$, $A_1(0,1,1)$. Все эти точки имеют $z$-координату, равную $1$. Эта плоскость параллельна плоскости $Oxy$ и проходит через $z=1$.

Уравнение плоскости: $z = 1$.

Ответ: $z = 1$

Грань $ADDA_1$

Эта грань является одной из боковых граней куба (вдоль оси $Oy$). Ее вершины: $D(0,0,0)$, $A(0,1,0)$, $A_1(0,1,1)$, $D_1(0,0,1)$. Все эти точки имеют $x$-координату, равную $0$. Следовательно, эта грань лежит в координатной плоскости $Oyz$.

Уравнение плоскости: $x = 0$.

Ответ: $x = 0$

Грань $BCC_1B_1$

Эта грань является противоположной боковой гранью куба (также вдоль оси $Oy$). Ее вершины: $B(1,1,0)$, $C(1,0,0)$, $C_1(1,0,1)$, $B_1(1,1,1)$. Все эти точки имеют $x$-координату, равную $1$. Эта плоскость параллельна плоскости $Oyz$ и проходит через $x=1$.

Уравнение плоскости: $x = 1$.

Ответ: $x = 1$

Грань $CDD_1C_1$

Эта грань является еще одной боковой гранью куба (вдоль оси $Ox$). Ее вершины: $C(1,0,0)$, $D(0,0,0)$, $D_1(0,0,1)$, $C_1(1,0,1)$. Все эти точки имеют $y$-координату, равную $0$. Следовательно, эта грань лежит в координатной плоскости $Oxz$.

Уравнение плоскости: $y = 0$.

Ответ: $y = 0$

Грань $ABB_1A_1$

Эта грань является противоположной боковой гранью куба (также вдоль оси $Ox$). Ее вершины: $A(0,1,0)$, $B(1,1,0)$, $B_1(1,1,1)$, $A_1(0,1,1)$. Все эти точки имеют $y$-координату, равную $1$. Эта плоскость параллельна плоскости $Oxz$ и проходит через $y=1$.

Уравнение плоскости: $y = 1$.

Ответ: $y = 1$

Ответ:

Уравнения плоскостей, содержащих грани куба, следующие:

• $z = 0$ (для грани $ABCD$)
• $z = 1$ (для грани $A_1B_1C_1D_1$)
• $x = 0$ (для грани $ADDA_1$)
• $x = 1$ (для грани $BCC_1B_1$)
• $y = 0$ (для грани $CDD_1C_1$)
• $y = 1$ (для грани $ABB_1A_1$)

26.7. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку $M(1; -2; 4)$ и параллельна координатной плоскости:

а) $Oxy$;

б) $Oxz$;

в) $Oyz$.

Дано

Точка $M(1; -2; 4)$

Найти:

Уравнение плоскости.

Решение

Плоскость, параллельная одной из координатных плоскостей и проходящая через заданную точку $M(x_0; y_0; z_0)$, имеет очень простой вид. Если плоскость параллельна координатной плоскости, это означает, что одна из ее нормалей перпендикулярна этой координатной плоскости, то есть одна из координат остается постоянной.

a) Oxy

Координатная плоскость Oxy определяется уравнением $z = 0$. Плоскость, параллельная плоскости Oxy, имеет общее уравнение вида $z = C$, где $C$ - некоторая константа. Поскольку искомая плоскость проходит через точку $M(1; -2; 4)$, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению плоскости. Подставляем координату $z$ точки $M$ в уравнение плоскости: $4 = C$. Таким образом, уравнение искомой плоскости: $z = 4$.

Ответ: $z = 4$

б) Oxz

Координатная плоскость Oxz определяется уравнением $y = 0$. Плоскость, параллельная плоскости Oxz, имеет общее уравнение вида $y = C$, где $C$ - некоторая константа. Поскольку искомая плоскость проходит через точку $M(1; -2; 4)$, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению плоскости. Подставляем координату $y$ точки $M$ в уравнение плоскости: $-2 = C$. Таким образом, уравнение искомой плоскости: $y = -2$.

Ответ: $y = -2$

в) Oyz

Координатная плоскость Oyz определяется уравнением $x = 0$. Плоскость, параллельная плоскости Oyz, имеет общее уравнение вида $x = C$, где $C$ - некоторая константа. Поскольку искомая плоскость проходит через точку $M(1; -2; 4)$, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению плоскости. Подставляем координату $x$ точки $M$ в уравнение плоскости: $1 = C$. Таким образом, уравнение искомой плоскости: $x = 1$.

Ответ: $x = 1$

26.8. Определите, какие из перечисленных ниже пар плоскостей параллельны между собой:

а) $x + y + z - 1 = 0$, $x + y + z + 1 = 0$;

б) $x + y + z - 1 = 0$, $x + y - z - 1 = 0$;

в) $-7x + y + 2z = 0$, $7x - y - 2z - 5 = 0$;

г) $2x + 4y + 6z - 8 = 0$, $-x - 2y - 3z + 4 = 0$.

Пары уравнений плоскостей:

a) $x + y + z - 1 = 0$, $x + y + z + 1 = 0$

б) $x + y + z - 1 = 0$, $x + y - z - 1 = 0$

в) $-7x + y + 2z = 0$, $7x - y - 2z - 5 = 0$

г) $2x + 4y + 6z - 8 = 0$, $-x - 2y - 3z + 4 = 0$

Перевод данных в систему СИ: Координаты являются безразмерными величинами в рамках данной геометрической задачи.

Пары плоскостей, которые параллельны между собой.

Две плоскости, заданные общими уравнениями $A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0$ и $A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0$, параллельны, если их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ коллинеарны. Это означает, что их соответствующие коэффициенты пропорциональны: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = k$, где $k$ - некоторая константа. Если при этом $\frac{D_1}{D_2} = k$, то плоскости совпадают (это частный случай параллельности). Если же $\frac{D_1}{D_2} \neq k$, то плоскости строго параллельны и не совпадают.

а) Уравнения плоскостей: $x + y + z - 1 = 0$ и $x + y + z + 1 = 0$.

Нормальный вектор первой плоскости: $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$.

Нормальный вектор второй плоскости: $\vec{n_2} = (1, 1, 1)$.

Сравним коэффициенты при $x, y, z$: $\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = \frac{1}{1} = 1$. Нормальные векторы коллинеарны.

Сравним свободные члены: $D_1 = -1$, $D_2 = 1$. Отношение $\frac{D_1}{D_2} = \frac{-1}{1} = -1$.

Так как $1 \neq -1$, плоскости параллельны, но не совпадают.

Ответ: Параллельны.

б) Уравнения плоскостей: $x + y + z - 1 = 0$ и $x + y - z - 1 = 0$.

Нормальный вектор первой плоскости: $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$.

Нормальный вектор второй плоскости: $\vec{n_2} = (1, 1, -1)$.

Сравним коэффициенты: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{1} = 1$, $\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{1} = 1$, но $\frac{C_1}{C_2} = \frac{1}{-1} = -1$.

Поскольку отношения коэффициентов не равны ($\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$), нормальные векторы не коллинеарны. Следовательно, плоскости не параллельны.

Ответ: Не параллельны.

в) Уравнения плоскостей: $-7x + y + 2z = 0$ и $7x - y - 2z - 5 = 0$.

Нормальный вектор первой плоскости: $\vec{n_1} = (-7, 1, 2)$.

Нормальный вектор второй плоскости: $\vec{n_2} = (7, -1, -2)$.

Сравним коэффициенты при $x, y, z$: $\frac{-7}{7} = -1$, $\frac{1}{-1} = -1$, $\frac{2}{-2} = -1$. Все отношения равны $-1$. Нормальные векторы коллинеарны.

Сравним свободные члены: $D_1 = 0$, $D_2 = -5$. Отношение $\frac{D_1}{D_2} = \frac{0}{-5} = 0$.

Так как $-1 \neq 0$, плоскости параллельны, но не совпадают.

Ответ: Параллельны.

г) Уравнения плоскостей: $2x + 4y + 6z - 8 = 0$ и $-x - 2y - 3z + 4 = 0$.

Нормальный вектор первой плоскости: $\vec{n_1} = (2, 4, 6)$.

Нормальный вектор второй плоскости: $\vec{n_2} = (-1, -2, -3)$.

Сравним коэффициенты при $x, y, z$: $\frac{2}{-1} = -2$, $\frac{4}{-2} = -2$, $\frac{6}{-3} = -2$. Все отношения равны $-2$. Нормальные векторы коллинеарны.

Сравним свободные члены: $D_1 = -8$, $D_2 = 4$. Отношение $\frac{D_1}{D_2} = \frac{-8}{4} = -2$.

Так как все отношения равны одному и тому же значению $(-2)$, плоскости совпадают. Совпадающие плоскости являются частным случаем параллельных плоскостей.

Ответ: Параллельны (совпадают).