Страница 130 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

24.1. Найдите расстояние от точки:

а) $A(3; 4; 0)$;

б) $B(1; -2; 2)$ до начала координат.

a)

Дано:

Точка $A(3; 4; 0)$. Начало координат $O(0; 0; 0)$.

Найти:

Расстояние $OA$.

Решение:

Для нахождения расстояния от точки $A(x_A; y_A; z_A)$ до начала координат $O(0; 0; 0)$ используется формула: $OA = \sqrt{x_A^2 + y_A^2 + z_A^2}$

Подставляем координаты точки $A(3; 4; 0)$ в формулу: $OA = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2}$ $OA = \sqrt{9 + 16 + 0}$ $OA = \sqrt{25}$ $OA = 5$

Ответ: 5

б)

Дано:

Точка $B(1; -2; 2)$. Начало координат $O(0; 0; 0)$.

Найти:

Расстояние $OB$.

Решение:

Для нахождения расстояния от точки $B(x_B; y_B; z_B)$ до начала координат $O(0; 0; 0)$ используется формула: $OB = \sqrt{x_B^2 + y_B^2 + z_B^2}$

Подставляем координаты точки $B(1; -2; 2)$ в формулу: $OB = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}$ $OB = \sqrt{1 + 4 + 4}$ $OB = \sqrt{9}$ $OB = 3$

Ответ: 3

24.2. Какая из точек $A (3; 1; 5)$ или $B (1; -1; 6)$ расположена ближе к началу координат?

24.3.

Дано:

Точка A: $(3; 1; 5)$

Точка B: $(1; -1; 6)$

Начало координат O: $(0; 0; 0)$

Найти:

Какая из точек A или B расположена ближе к началу координат?

Решение:

Для определения, какая из точек расположена ближе к началу координат, необходимо вычислить расстояние от каждой точки до начала координат. Расстояние от точки $(x; y; z)$ до начала координат $(0; 0; 0)$ вычисляется по формуле: $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Вычислим расстояние от точки A до начала координат (обозначим его $d_A$):

$d_A = \sqrt{3^2 + 1^2 + 5^2}$

$d_A = \sqrt{9 + 1 + 25}$

$d_A = \sqrt{35}$

Вычислим расстояние от точки B до начала координат (обозначим его $d_B$):

$d_B = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 6^2}$

$d_B = \sqrt{1 + 1 + 36}$

$d_B = \sqrt{38}$

Теперь сравним полученные расстояния:

Так как $35 < 38$, то $\sqrt{35} < \sqrt{38}$.

Следовательно, $d_A < d_B$. Точка A находится ближе к началу координат, чем точка B.

Ответ:

Точка A $(3; 1; 5)$ расположена ближе к началу координат.

24.3. Найдите расстояние между точками:

а) $A_1(1; 2; 3)$ и $A_2(-1; 1; 1)$;

б) $B_1(3; 4; 0)$ и $B_2(3; 1; -4)$.

а)

Дано:
точки $A_1(1; 2; 3)$ и $A_2(-1; 1; 1)$.

Найти:
Расстояние между точками $A_1$ и $A_2$.

Решение:
Расстояние между двумя точками $P_1(x_1, y_1, z_1)$ и $P_2(x_2, y_2, z_2)$ в трехмерном пространстве находится по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
Для точек $A_1(1; 2; 3)$ и $A_2(-1; 1; 1)$ имеем:
$x_1 = 1, y_1 = 2, z_1 = 3$
$x_2 = -1, y_2 = 1, z_2 = 1$
Подставляем значения в формулу:
$d(A_1, A_2) = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (1 - 2)^2 + (1 - 3)^2}$
$d(A_1, A_2) = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-2)^2}$
$d(A_1, A_2) = \sqrt{4 + 1 + 4}$
$d(A_1, A_2) = \sqrt{9}$
$d(A_1, A_2) = 3$

Ответ: 3

б)

Дано:
точки $B_1(3; 4; 0)$ и $B_2(3; 1; -4)$.

Найти:
Расстояние между точками $B_1$ и $B_2$.

Решение:
Используем ту же формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
Для точек $B_1(3; 4; 0)$ и $B_2(3; 1; -4)$ имеем:
$x_1 = 3, y_1 = 4, z_1 = 0$
$x_2 = 3, y_2 = 1, z_2 = -4$
Подставляем значения в формулу:
$d(B_1, B_2) = \sqrt{(3 - 3)^2 + (1 - 4)^2 + (-4 - 0)^2}$
$d(B_1, B_2) = \sqrt{(0)^2 + (-3)^2 + (-4)^2}$
$d(B_1, B_2) = \sqrt{0 + 9 + 16}$
$d(B_1, B_2) = \sqrt{25}$
$d(B_1, B_2) = 5$

Ответ: 5

24.4. Найдите координаты центра C и радиус R сферы, заданной уравнением:

a) $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 + z^2 = 9$

б) $x^2 + (y - 6)^2 + (z + 1)^2 = 4.$

a)

Дано:

Уравнение сферы: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 + z^2 = 9$

Найти:

Координаты центра $C(x_0, y_0, z_0)$ и радиус $R$ сферы.

Решение:

Общее уравнение сферы с центром $C(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Сравнивая данное уравнение $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 + z^2 = 9$ с общим уравнением, получаем:

Для координаты $x_0$: $(x - 2)^2 \implies x_0 = 2$

Для координаты $y_0$: $(y + 5)^2 = (y - (-5))^2 \implies y_0 = -5$

Для координаты $z_0$: $z^2 = (z - 0)^2 \implies z_0 = 0$

Для радиуса $R$: $R^2 = 9 \implies R = \sqrt{9} = 3$ (радиус всегда положителен)

Ответ: Координаты центра $C(2, -5, 0)$, радиус $R=3$.

б)

Дано:

Уравнение сферы: $x^2 + (y - 6)^2 + (z + 1)^2 = 4$

Найти:

Координаты центра $C(x_0, y_0, z_0)$ и радиус $R$ сферы.

Решение:

Общее уравнение сферы с центром $C(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Сравнивая данное уравнение $x^2 + (y - 6)^2 + (z + 1)^2 = 4$ с общим уравнением, получаем:

Для координаты $x_0$: $x^2 = (x - 0)^2 \implies x_0 = 0$

Для координаты $y_0$: $(y - 6)^2 \implies y_0 = 6$

Для координаты $z_0$: $(z + 1)^2 = (z - (-1))^2 \implies z_0 = -1$

Для радиуса $R$: $R^2 = 4 \implies R = \sqrt{4} = 2$ (радиус всегда положителен)

Ответ: Координаты центра $C(0, 6, -1)$, радиус $R=2$.

24.5. Напишите уравнение сферы:

а) с центром в точке $O(0; 0; 0)$ и радиусом 1;

б) с центром в точке $O(1; -2; 3)$ и радиусом 4.

Дано:
Стандартное уравнение сферы с центром в точке $(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2 $
Перевод в систему СИ: Данные представлены в абстрактных единицах длины, перевод в систему СИ не требуется, так как задача является чисто геометрической.

Найти:
Уравнения сфер для заданных условий.

Решение

а) с центром в точке O(0; 0; 0) и радиусом 1
В данном случае, центр сферы имеет координаты $x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $z_0 = 0$, а радиус сферы $R = 1$.
Подставим эти значения в общее уравнение сферы: $ (x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 1^2 $
Упростим выражение: $ x^2 + y^2 + z^2 = 1 $
Ответ: $x^2 + y^2 + z^2 = 1$

б) с центром в точке O(1; -2; 3) и радиусом 4
В данном случае, центр сферы имеет координаты $x_0 = 1$, $y_0 = -2$, $z_0 = 3$, а радиус сферы $R = 4$.
Подставим эти значения в общее уравнение сферы: $ (x - 1)^2 + (y - (-2))^2 + (z - 3)^2 = 4^2 $
Упростим выражение: $ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 16 $
Ответ: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 16$

24.6. Определите вид треугольника, если его вершины имеют координаты: $A(0; 0; 2)$, $B(0; 2; 0)$, $C(2; 0; 0)$.

Дано:

Вершины треугольника: A(0; 0; 2), B(0; 2; 0), C(2; 0; 0).

Найти:

Вид треугольника ABC.

Решение:

Для определения вида треугольника вычислим длины его сторон. Используем формулу расстояния между двумя точками $P_1(x_1, y_1, z_1)$ и $P_2(x_2, y_2, z_2)$ в трехмерном пространстве:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Вычислим длины сторон треугольника ABC:

Длина стороны AB:

$AB = \sqrt{(0 - 0)^2 + (2 - 0)^2 + (0 - 2)^2}$

$AB = \sqrt{0^2 + 2^2 + (-2)^2}$

$AB = \sqrt{0 + 4 + 4}$

$AB = \sqrt{8}$

Длина стороны BC:

$BC = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (0 - 0)^2}$

$BC = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2}$

$BC = \sqrt{4 + 4 + 0}$

$BC = \sqrt{8}$

Длина стороны CA:

$CA = \sqrt{(0 - 2)^2 + (0 - 0)^2 + (2 - 0)^2}$

$CA = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 2^2}$

$CA = \sqrt{4 + 0 + 4}$

$CA = \sqrt{8}$

Поскольку $AB = BC = CA = \sqrt{8}$, все стороны треугольника равны. Следовательно, треугольник является равносторонним.

Ответ: Равносторонний.

24.7. На каком расстоянии находится точка $A(1; -2; 3)$ от координатной прямой:

а) $Ox$;

б) $Oy$;

в) $Oz$?

Дано

Точка $A(1; -2; 3)$

Найти:

Расстояние от точки $A$ до координатной прямой:

a) $Ox$

б) $Oy$

в) $Oz$

Решение

Расстояние от точки $P(x_0, y_0, z_0)$ до координатной оси определяется по формулам:

• До оси $Ox$: $d_x = \sqrt{y_0^2 + z_0^2}$
• До оси $Oy$: $d_y = \sqrt{x_0^2 + z_0^2}$
• До оси $Oz$: $d_z = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}$

Для данной точки $A(1; -2; 3)$, имеем $x_0 = 1$, $y_0 = -2$, $z_0 = 3$.

a) Ox

Расстояние от точки $A(1; -2; 3)$ до оси $Ox$ находится по формуле: $d_x = \sqrt{y_0^2 + z_0^2}$.

$d_x = \sqrt{(-2)^2 + 3^2}$

$d_x = \sqrt{4 + 9}$

$d_x = \sqrt{13}$

Ответ: $\sqrt{13}$

б) Oy

Расстояние от точки $A(1; -2; 3)$ до оси $Oy$ находится по формуле: $d_y = \sqrt{x_0^2 + z_0^2}$.

$d_y = \sqrt{1^2 + 3^2}$

$d_y = \sqrt{1 + 9}$

$d_y = \sqrt{10}$

Ответ: $\sqrt{10}$

в) Oz

Расстояние от точки $A(1; -2; 3)$ до оси $Oz$ находится по формуле: $d_z = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}$.

$d_z = \sqrt{1^2 + (-2)^2}$

$d_z = \sqrt{1 + 4}$

$d_z = \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$

24.8. Напишите уравнение сферы с центром в точке $O(1; 2; -1)$, касающейся координатной плоскости:

а) $Oxy$;

б) $Oxz$;

в) $Oyz$.

Дано:

Центр сферы: $O(x_0; y_0; z_0) = O(1; 2; -1)$

Найти:

Уравнение сферы, касающейся указанных координатных плоскостей.

Решение:

Общее уравнение сферы с центром в точке $(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

В нашем случае центр сферы $O(1; 2; -1)$, поэтому $x_0 = 1$, $y_0 = 2$, $z_0 = -1$.

Радиус $R$ сферы, касающейся координатной плоскости, равен абсолютному значению координаты центра, перпендикулярной этой плоскости.

a) Oxy

Плоскость $Oxy$ определяется уравнением $z = 0$. Если сфера касается этой плоскости, то ее радиус $R$ равен абсолютному значению z-координаты центра сферы.

$R = |z_0| = |-1| = 1$

Тогда $R^2 = 1^2 = 1$.

Подставляем значения $x_0, y_0, z_0$ и $R^2$ в общее уравнение сферы:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - (-1))^2 = 1$

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 1$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 1$

б) Oxz

Плоскость $Oxz$ определяется уравнением $y = 0$. Если сфера касается этой плоскости, то ее радиус $R$ равен абсолютному значению y-координаты центра сферы.

$R = |y_0| = |2| = 2$

Тогда $R^2 = 2^2 = 4$.

Подставляем значения $x_0, y_0, z_0$ и $R^2$ в общее уравнение сферы:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - (-1))^2 = 4$

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 4$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 4$

в) Oyz

Плоскость $Oyz$ определяется уравнением $x = 0$. Если сфера касается этой плоскости, то ее радиус $R$ равен абсолютному значению x-координаты центра сферы.

$R = |x_0| = |1| = 1$

Тогда $R^2 = 1^2 = 1$.

Подставляем значения $x_0, y_0, z_0$ и $R^2$ в общее уравнение сферы:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - (-1))^2 = 1$

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 1$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 1$

24.9. Напишите уравнение сферы с центром в точке $O(3; -2; 1)$, касающейся координатной прямой:

а) $Ox$;

б) $Oy$;

в) $Oz$.

Дано:

Центр сферы: $C(3; -2; 1)$

Найти:

Уравнение сферы, касающейся координатной прямой:

а) $Ox$

б) $Oy$

в) $Oz$

Решение

Общее уравнение сферы с центром $C(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

В нашей задаче центр сферы $C(3, -2, 1)$, следовательно, $x_0 = 3$, $y_0 = -2$, $z_0 = 1$. Подставляя эти значения, получаем:

$(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 + (z - 1)^2 = R^2$

или

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = R^2$

Радиус $R$ сферы, касающейся координатной прямой, равен кратчайшему расстоянию от центра сферы до этой прямой. Это расстояние соответствует длине перпендикуляра, опущенного из центра на прямую.

а) $Ox$

Координатная прямая $Ox$ задается уравнениями $y = 0$ и $z = 0$. Точка на оси $Ox$, которая является ближайшей к центру сферы $C(3, -2, 1)$, имеет координаты $(3, 0, 0)$. Радиус $R$ сферы равен расстоянию между центром $C(3, -2, 1)$ и точкой касания $(3, 0, 0)$.

$R = \sqrt{(3 - 3)^2 + (-2 - 0)^2 + (1 - 0)^2}$

$R = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 1^2}$

$R = \sqrt{0 + 4 + 1}$

$R = \sqrt{5}$

Тогда $R^2 = 5$.

Подставляем $R^2$ в общее уравнение сферы:

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 5$

Ответ:

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 5$

б) $Oy$

Координатная прямая $Oy$ задается уравнениями $x = 0$ и $z = 0$. Точка на оси $Oy$, которая является ближайшей к центру сферы $C(3, -2, 1)$, имеет координаты $(0, -2, 0)$. Радиус $R$ сферы равен расстоянию между центром $C(3, -2, 1)$ и точкой касания $(0, -2, 0)$.

$R = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-2 - (-2))^2 + (1 - 0)^2}$

$R = \sqrt{3^2 + 0^2 + 1^2}$

$R = \sqrt{9 + 0 + 1}$

$R = \sqrt{10}$

Тогда $R^2 = 10$.

Подставляем $R^2$ в общее уравнение сферы:

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 10$

Ответ:

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 10$

в) $Oz$

Координатная прямая $Oz$ задается уравнениями $x = 0$ и $y = 0$. Точка на оси $Oz$, которая является ближайшей к центру сферы $C(3, -2, 1)$, имеет координаты $(0, 0, 1)$. Радиус $R$ сферы равен расстоянию между центром $C(3, -2, 1)$ и точкой касания $(0, 0, 1)$.

$R = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-2 - 0)^2 + (1 - 1)^2}$

$R = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 0^2}$

$R = \sqrt{9 + 4 + 0}$

$R = \sqrt{13}$

Тогда $R^2 = 13$.

Подставляем $R^2$ в общее уравнение сферы:

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 13$

Ответ:

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 13$

24.10. Найдите уравнения сфер радиуса 3, касающихся трех координатных плоскостей. Сколько таких сфер?

Дано

Радиус сферы: $R = 3$

Найти:

Уравнения сфер, касающихся трех координатных плоскостей. Количество таких сфер.

Решение

Уравнение сферы с центром в точке $(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ имеет общий вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.

По условию задачи, радиус сферы $R = 3$. Следовательно, $R^2 = 3^2 = 9$.

Для того чтобы сфера касалась трех координатных плоскостей (плоскостей $xy$, $xz$, $yz$), расстояние от центра сферы до каждой из этих плоскостей должно быть равно радиусу сферы $R$.

Расстояние от центра сферы $(x_0, y_0, z_0)$ до координатных плоскостей:

• До плоскости $yz$ (уравнение $x=0$) равно $|x_0|$.

• До плоскости $xz$ (уравнение $y=0$) равно $|y_0|$.

• До плоскости $xy$ (уравнение $z=0$) равно $|z_0|$.

Из условия касания следует, что:

$|x_0| = R \Rightarrow |x_0| = 3 \Rightarrow x_0 = \pm 3$

$|y_0| = R \Rightarrow |y_0| = 3 \Rightarrow y_0 = \pm 3$

$|z_0| = R \Rightarrow |z_0| = 3 \Rightarrow z_0 = \pm 3$

Таким образом, координаты центра сферы могут быть $(\pm 3, \pm 3, \pm 3)$. Поскольку каждая из трех координат может принимать одно из двух значений ($+3$ или $-3$), существует $2 \times 2 \times 2 = 8$ различных комбинаций для центра сферы. Каждая такая комбинация соответствует уникальной сфере, которая располагается в одном из восьми октантов трехмерного пространства и касается всех трех координатных плоскостей.

Уравнения этих 8 сфер:

• Сфера 1 (центр $(3, 3, 3)$): $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 + (z - 3)^2 = 9$

• Сфера 2 (центр $(-3, 3, 3)$): $(x + 3)^2 + (y - 3)^2 + (z - 3)^2 = 9$

• Сфера 3 (центр $(3, -3, 3)$): $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 + (z - 3)^2 = 9$

• Сфера 4 (центр $(3, 3, -3)$): $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2 = 9$

• Сфера 5 (центр $(-3, -3, 3)$): $(x + 3)^2 + (y + 3)^2 + (z - 3)^2 = 9$

• Сфера 6 (центр $(-3, 3, -3)$): $(x + 3)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2 = 9$

• Сфера 7 (центр $(3, -3, -3)$): $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 + (z + 3)^2 = 9$

• Сфера 8 (центр $(-3, -3, -3)$): $(x + 3)^2 + (y + 3)^2 + (z + 3)^2 = 9$

Ответ:

Существует 8 таких сфер. Их уравнения:

• $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 + (z - 3)^2 = 9$

• $(x + 3)^2 + (y - 3)^2 + (z - 3)^2 = 9$

• $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 + (z - 3)^2 = 9$

• $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2 = 9$

• $(x + 3)^2 + (y + 3)^2 + (z - 3)^2 = 9$

• $(x + 3)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2 = 9$

• $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 + (z + 3)^2 = 9$

• $(x + 3)^2 + (y + 3)^2 + (z + 3)^2 = 9$

натных плоскостей. Сколько таких сфер?

24.11. Найдите уравнение сферы радиуса $\sqrt{2}$, касающихся трех координатных прямых. Сколько таких сфер?

Дано:

Радиус сферы $R = \sqrt{2}$.

Сфера касается трех координатных прямых (осей).

Найти:

Уравнение сферы.

Количество таких сфер.

Решение:

Пусть центр сферы имеет координаты $(a, b, c)$, а радиус равен $R$. Общее уравнение сферы имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$.

Если сфера касается координатной оси, то расстояние от ее центра до этой оси равно радиусу $R$.

1. Расстояние от центра $(a, b, c)$ до оси $Ox$ (где $y=0, z=0$) равно $\sqrt{(b-0)^2 + (c-0)^2} = \sqrt{b^2 + c^2}$.

2. Расстояние от центра $(a, b, c)$ до оси $Oy$ (где $x=0, z=0$) равно $\sqrt{(a-0)^2 + (c-0)^2} = \sqrt{a^2 + c^2}$.

3. Расстояние от центра $(a, b, c)$ до оси $Oz$ (где $x=0, y=0$) равно $\sqrt{(a-0)^2 + (b-0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$.

По условию, сфера касается всех трех координатных прямых, поэтому эти расстояния должны быть равны радиусу $R$:

$\sqrt{b^2 + c^2} = R$

$\sqrt{a^2 + c^2} = R$

$\sqrt{a^2 + b^2} = R$

Возведем обе части каждого уравнения в квадрат:

$b^2 + c^2 = R^2 \quad (1)$

$a^2 + c^2 = R^2 \quad (2)$

$a^2 + b^2 = R^2 \quad (3)$

Из уравнений (1) и (2) следует, что $b^2 + c^2 = a^2 + c^2$, откуда $b^2 = a^2$. Это означает, что $b = \pm a$.

Из уравнений (2) и (3) следует, что $a^2 + c^2 = a^2 + b^2$, откуда $c^2 = b^2$. Это означает, что $c = \pm b$.

Таким образом, $a^2 = b^2 = c^2$. Пусть $a^2 = k^2$, тогда $b^2 = k^2$ и $c^2 = k^2$. Отсюда $|a| = |b| = |c| = k$.

Подставим $b^2=k^2$ и $c^2=k^2$ в уравнение (1):

$k^2 + k^2 = R^2$

$2k^2 = R^2$

$k^2 = \frac{R^2}{2}$

$k = \sqrt{\frac{R^2}{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}}$

По условию, радиус сферы $R = \sqrt{2}$. Подставим это значение:

$k = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$

Следовательно, $|a| = |b| = |c| = 1$. Это означает, что координаты центра сферы могут быть $a=\pm 1$, $b=\pm 1$, $c=\pm 1$.

Поскольку каждая из координат $a, b, c$ может принимать два значения ($\pm 1$), существует $2 \times 2 \times 2 = 8$ возможных комбинаций знаков для координат центра. Каждая такая комбинация соответствует уникальной сфере.

Примеры центров: $(1, 1, 1)$, $(1, 1, -1)$, $(1, -1, 1)$, $(-1, 1, 1)$, $(1, -1, -1)$, $(-1, 1, -1)$, $(-1, -1, 1)$, $(-1, -1, -1)$.

Радиус в квадрате $R^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Уравнение каждой такой сферы имеет вид: $(x \pm 1)^2 + (y \pm 1)^2 + (z \pm 1)^2 = 2$.

Ответ:

Уравнение сферы: $(x \pm 1)^2 + (y \pm 1)^2 + (z \pm 1)^2 = 2$.

Таких сфер 8.

24.12. Докажите, что уравнение $x^2 - 4x + y^2 + z^2 = 0$ задает сферу в пространстве. Найдите ее радиус и координаты центра.

Дано:

Уравнение: $x^2 - 4x + y^2 + z^2 = 0$

Найти:

1. Доказать, что уравнение задает сферу в пространстве.

2. Радиус сферы.

3. Координаты центра сферы.

Решение:

Доказательство:

Общее уравнение сферы в трехмерном пространстве имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты центра сферы, а $R$ — ее радиус. Для доказательства того, что данное уравнение задает сферу, необходимо преобразовать его к этому стандартному виду путем выделения полных квадратов.

Начнем с данного уравнения:

$x^2 - 4x + y^2 + z^2 = 0$

Выделим полный квадрат для членов, содержащих $x$. Для выражения $x^2 - 4x$ необходимо добавить и вычесть квадрат половины коэффициента при $x$, то есть $( -4/2 )^2 = ( -2 )^2 = 4$.

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + y^2 + z^2 = 0$

Первые три члена образуют полный квадрат $(x - 2)^2$. Таким образом, уравнение примет вид:

$(x - 2)^2 - 4 + y^2 + z^2 = 0$

Перенесем свободный член $-4$ в правую часть уравнения:

$(x - 2)^2 + y^2 + z^2 = 4$

Данное уравнение можно также записать как:

$(x - 2)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 2^2$

Это уравнение точно соответствует стандартной форме уравнения сферы. Следовательно, данное уравнение $x^2 - 4x + y^2 + z^2 = 0$ действительно задает сферу в пространстве.

Ответ:

Радиус:

Сравнивая преобразованное уравнение $(x - 2)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 2^2$ с общим уравнением сферы $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, мы видим, что $R^2 = 4$.

Таким образом, радиус сферы $R = \sqrt{4} = 2$.

Ответ:

Координаты центра:

Из сравнения уравнения $(x - 2)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 2^2$ с общим уравнением сферы $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$ получаем координаты центра $(x_0, y_0, z_0)$:

• $x_0 = 2$
• $y_0 = 0$
• $z_0 = 0$

Следовательно, координаты центра сферы: $(2, 0, 0)$.

Ответ:

24.13. Точка $A(0; \sqrt{2}; \sqrt{5})$ принадлежит сфере с центром $O(3; 0; 0)$.

Напишите уравнение этой сферы.

Дано:

Центр сферы $O(3; 0; 0)$

Точка на сфере $A(0; \sqrt{2}; \sqrt{5})$

Найти:

Уравнение сферы

Решение:

Общее уравнение сферы с центром в точке $(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.

В данном случае центр сферы $O(3; 0; 0)$, поэтому уравнение сферы принимает вид:

$(x - 3)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = R^2$

$(x - 3)^2 + y^2 + z^2 = R^2$

Для нахождения радиуса $R$ используем тот факт, что точка $A(0; \sqrt{2}; \sqrt{5})$ принадлежит сфере. Радиус сферы равен расстоянию от центра $O$ до любой точки на сфере, в данном случае до точки $A$. Расстояние между двумя точками $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Подставляем координаты точек $O(3; 0; 0)$ и $A(0; \sqrt{2}; \sqrt{5})$:

$R = \sqrt{(0 - 3)^2 + (\sqrt{2} - 0)^2 + (\sqrt{5} - 0)^2}$

$R = \sqrt{(-3)^2 + (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{5})^2}$

$R = \sqrt{9 + 2 + 5}$

$R = \sqrt{16}$

$R = 4$

Теперь возведем радиус в квадрат для подстановки в уравнение сферы:

$R^2 = 4^2 = 16$

Подставляем значение $R^2$ в уравнение сферы:

$(x - 3)^2 + y^2 + z^2 = 16$

24.13.Ответ: Уравнение сферы: $(x - 3)^2 + y^2 + z^2 = 16$.

24.14. Как расположена точка:

a) $A(5; 1; 2);$

б) $B(4; 2; 2);$

в) $C(3; 2; 2)$

относительно сферы $x^2 + y^2 + z^2 - 8x + 4y + 2z - 4 = 0?$

24.15. Как расположена точе относительно...

Дано

Уравнение сферы: $x^2 + y^2 + z^2 - 8x + 4y + 2z - 4 = 0$.

Координаты точек: A(5; 1; 2), B(4; 2; 2), C(3; 2; 2).

Найти:

Как расположена каждая точка относительно сферы.

Решение

Для определения взаимного расположения точки $(x_p, y_p, z_p)$ относительно сферы, заданной уравнением $x^2 + y^2 + z^2 + Ax + By + Cz + D = 0$, необходимо подставить координаты точки в левую часть уравнения сферы.

Обозначим левую часть уравнения сферы как функцию $F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 8x + 4y + 2z - 4$.

• Если $F(x_p, y_p, z_p) < 0$, то точка находится внутри сферы.

• Если $F(x_p, y_p, z_p) = 0$, то точка находится на поверхности сферы.

• Если $F(x_p, y_p, z_p) > 0$, то точка находится вне сферы.

Для понимания геометрического смысла уравнения сферы, приведем его к каноническому виду $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$ путем выделения полных квадратов:

$x^2 - 8x + y^2 + 4y + z^2 + 2z - 4 = 0$

$(x^2 - 8x + 16) - 16 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + (z^2 + 2z + 1) - 1 - 4 = 0$

$(x-4)^2 + (y+2)^2 + (z+1)^2 = 16 + 4 + 1 + 4$

$(x-4)^2 + (y+2)^2 + (z+1)^2 = 25$

Таким образом, центр сферы находится в точке $O(4, -2, -1)$, а радиус сферы $R = \sqrt{25} = 5$.

Теперь подставим координаты каждой из заданных точек в функцию $F(x, y, z)$:

a) A(5; 1; 2)

Подставляем координаты точки A($x_A=5, y_A=1, z_A=2$) в выражение $F(x, y, z)$:

$F(5, 1, 2) = 5^2 + 1^2 + 2^2 - 8(5) + 4(1) + 2(2) - 4$

$F(5, 1, 2) = 25 + 1 + 4 - 40 + 4 + 4 - 4$

$F(5, 1, 2) = 30 - 40 + 8 - 4$

$F(5, 1, 2) = -10 + 4 = -2$

Поскольку $F(5, 1, 2) = -2 < 0$, точка A находится внутри сферы.

Ответ: Точка A находится внутри сферы.

б) B(4; 2; 2)

Подставляем координаты точки B($x_B=4, y_B=2, z_B=2$) в выражение $F(x, y, z)$:

$F(4, 2, 2) = 4^2 + 2^2 + 2^2 - 8(4) + 4(2) + 2(2) - 4$

$F(4, 2, 2) = 16 + 4 + 4 - 32 + 8 + 4 - 4$

$F(4, 2, 2) = 24 - 32 + 12 - 4$

$F(4, 2, 2) = -8 + 8 = 0$

Поскольку $F(4, 2, 2) = 0$, точка B находится на поверхности сферы.

Ответ: Точка B находится на поверхности сферы.

в) C(3; 2; 2)

Подставляем координаты точки C($x_C=3, y_C=2, z_C=2$) в выражение $F(x, y, z)$:

$F(3, 2, 2) = 3^2 + 2^2 + 2^2 - 8(3) + 4(2) + 2(2) - 4$

$F(3, 2, 2) = 9 + 4 + 4 - 24 + 8 + 4 - 4$

$F(3, 2, 2) = 17 - 24 + 12 - 4$

$F(3, 2, 2) = -7 + 8 = 1$

Поскольку $F(3, 2, 2) = 1 > 0$, точка C находится вне сферы.

Ответ: Точка C находится вне сферы.

относительно сферы $x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 10y + 2z - 1 = 0$.

24.15. Как расположены друг относительно друга сферы $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 1$, $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 1$?

Дано:

Сфера 1: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 1$

Сфера 2: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 1$

Перевод всех данных в систему СИ:

Данная задача оперирует абстрактными координатами и радиусами, не имеющими физических единиц измерения. Поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Взаимное расположение сфер.

Решение:

1. Определим центры и радиусы сфер.

Общее уравнение сферы имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ - координаты центра, а $R$ - радиус.

Для первой сферы, $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 1$:

Центр $C_1 = (1, 2, -1)$

Радиус $R_1 = \sqrt{1} = 1$

Для второй сферы, $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 1$:

Центр $C_2 = (2, 1, 1)$

Радиус $R_2 = \sqrt{1} = 1$

2. Вычислим расстояние $d$ между центрами сфер $C_1$ и $C_2$.

Расстояние между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ в пространстве вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Подставим координаты центров $C_1 = (1, 2, -1)$ и $C_2 = (2, 1, 1)$:

$d = \sqrt{(2 - 1)^2 + (1 - 2)^2 + (1 - (-1))^2}$

$d = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (2)^2}$

$d = \sqrt{1 + 1 + 4}$

$d = \sqrt{6}$

Приближенное значение $d \approx 2.449$.

3. Сравним расстояние $d$ с суммой и разностью радиусов.

Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 1 + 1 = 2$

Разность радиусов: $|R_1 - R_2| = |1 - 1| = 0$

Сравним $d$ с $R_1 + R_2$:

Мы имеем $d = \sqrt{6}$ и $R_1 + R_2 = 2$.

Так как $\sqrt{6} \approx 2.449 > 2$, то $d > R_1 + R_2$.

Если расстояние между центрами сфер больше суммы их радиусов ($d > R_1 + R_2$), то сферы не пересекаются и расположены одна вне другой.

Ответ:

Сферы расположены одна вне другой (не пересекаются).

24.16. Повторите определение координат вектора на координатной плоскости.

Координатами вектора на координатной плоскости называются числа, которые определяют его положение и направление относительно координатных осей. Эти числа представляют собой проекции вектора на оси координат.
Если вектор $\vec{a}$ имеет начальную точку $A$ с координатами $(x_1, y_1)$ и конечную точку $B$ с координатами $(x_2, y_2)$, то координаты вектора $\vec{a}$ обозначаются как $(x, y)$ и вычисляются как разность соответствующих координат конечной и начальной точек.
Формулы для определения координат вектора:
Координата по оси абсцисс (x): $x = x_2 - x_1$
Координата по оси ординат (y): $y = y_2 - y_1$
Таким образом, вектор $\vec{a}$ записывается в координатной форме как $\vec{a} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$.
В частном случае, если начало вектора совпадает с началом координат $O(0,0)$, а его конец находится в точке $P(x_p, y_p)$, то координаты такого вектора $\vec{OP}$ будут просто $(x_p, y_p)$.
Ответ: Координатами вектора на координатной плоскости являются числа, равные разности соответствующих координат его конечной и начальной точек: $(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$.