Номер 24.9, страница 130 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

24.9. Напишите уравнение сферы с центром в точке $O(3; -2; 1)$, касающейся координатной прямой:

а) $Ox$;

б) $Oy$;

в) $Oz$.

Дано:

Центр сферы: $C(3; -2; 1)$

Найти:

Уравнение сферы, касающейся координатной прямой:

а) $Ox$

б) $Oy$

в) $Oz$

Решение

Общее уравнение сферы с центром $C(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

В нашей задаче центр сферы $C(3, -2, 1)$, следовательно, $x_0 = 3$, $y_0 = -2$, $z_0 = 1$. Подставляя эти значения, получаем:

$(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 + (z - 1)^2 = R^2$

или

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = R^2$

Радиус $R$ сферы, касающейся координатной прямой, равен кратчайшему расстоянию от центра сферы до этой прямой. Это расстояние соответствует длине перпендикуляра, опущенного из центра на прямую.

а) $Ox$

Координатная прямая $Ox$ задается уравнениями $y = 0$ и $z = 0$. Точка на оси $Ox$, которая является ближайшей к центру сферы $C(3, -2, 1)$, имеет координаты $(3, 0, 0)$. Радиус $R$ сферы равен расстоянию между центром $C(3, -2, 1)$ и точкой касания $(3, 0, 0)$.

$R = \sqrt{(3 - 3)^2 + (-2 - 0)^2 + (1 - 0)^2}$

$R = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 1^2}$

$R = \sqrt{0 + 4 + 1}$

$R = \sqrt{5}$

Тогда $R^2 = 5$.

Подставляем $R^2$ в общее уравнение сферы:

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 5$

Ответ:

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 5$

б) $Oy$

Координатная прямая $Oy$ задается уравнениями $x = 0$ и $z = 0$. Точка на оси $Oy$, которая является ближайшей к центру сферы $C(3, -2, 1)$, имеет координаты $(0, -2, 0)$. Радиус $R$ сферы равен расстоянию между центром $C(3, -2, 1)$ и точкой касания $(0, -2, 0)$.

$R = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-2 - (-2))^2 + (1 - 0)^2}$

$R = \sqrt{3^2 + 0^2 + 1^2}$

$R = \sqrt{9 + 0 + 1}$

$R = \sqrt{10}$

Тогда $R^2 = 10$.

Подставляем $R^2$ в общее уравнение сферы:

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 10$

Ответ:

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 10$

в) $Oz$

Координатная прямая $Oz$ задается уравнениями $x = 0$ и $y = 0$. Точка на оси $Oz$, которая является ближайшей к центру сферы $C(3, -2, 1)$, имеет координаты $(0, 0, 1)$. Радиус $R$ сферы равен расстоянию между центром $C(3, -2, 1)$ и точкой касания $(0, 0, 1)$.

$R = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-2 - 0)^2 + (1 - 1)^2}$

$R = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 0^2}$

$R = \sqrt{9 + 4 + 0}$

$R = \sqrt{13}$

Тогда $R^2 = 13$.

Подставляем $R^2$ в общее уравнение сферы:

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 13$

Ответ:

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 13$