Номер 24.10, страница 130 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

24.10. Найдите уравнения сфер радиуса 3, касающихся трех координатных плоскостей. Сколько таких сфер?

Дано

Радиус сферы: $R = 3$

Найти:

Уравнения сфер, касающихся трех координатных плоскостей. Количество таких сфер.

Решение

Уравнение сферы с центром в точке $(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ имеет общий вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.

По условию задачи, радиус сферы $R = 3$. Следовательно, $R^2 = 3^2 = 9$.

Для того чтобы сфера касалась трех координатных плоскостей (плоскостей $xy$, $xz$, $yz$), расстояние от центра сферы до каждой из этих плоскостей должно быть равно радиусу сферы $R$.

Расстояние от центра сферы $(x_0, y_0, z_0)$ до координатных плоскостей:

• До плоскости $yz$ (уравнение $x=0$) равно $|x_0|$.

• До плоскости $xz$ (уравнение $y=0$) равно $|y_0|$.

• До плоскости $xy$ (уравнение $z=0$) равно $|z_0|$.

Из условия касания следует, что:

$|x_0| = R \Rightarrow |x_0| = 3 \Rightarrow x_0 = \pm 3$

$|y_0| = R \Rightarrow |y_0| = 3 \Rightarrow y_0 = \pm 3$

$|z_0| = R \Rightarrow |z_0| = 3 \Rightarrow z_0 = \pm 3$

Таким образом, координаты центра сферы могут быть $(\pm 3, \pm 3, \pm 3)$. Поскольку каждая из трех координат может принимать одно из двух значений ($+3$ или $-3$), существует $2 \times 2 \times 2 = 8$ различных комбинаций для центра сферы. Каждая такая комбинация соответствует уникальной сфере, которая располагается в одном из восьми октантов трехмерного пространства и касается всех трех координатных плоскостей.

Уравнения этих 8 сфер:

• Сфера 1 (центр $(3, 3, 3)$): $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 + (z - 3)^2 = 9$

• Сфера 2 (центр $(-3, 3, 3)$): $(x + 3)^2 + (y - 3)^2 + (z - 3)^2 = 9$

• Сфера 3 (центр $(3, -3, 3)$): $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 + (z - 3)^2 = 9$

• Сфера 4 (центр $(3, 3, -3)$): $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2 = 9$

• Сфера 5 (центр $(-3, -3, 3)$): $(x + 3)^2 + (y + 3)^2 + (z - 3)^2 = 9$

• Сфера 6 (центр $(-3, 3, -3)$): $(x + 3)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2 = 9$

• Сфера 7 (центр $(3, -3, -3)$): $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 + (z + 3)^2 = 9$

• Сфера 8 (центр $(-3, -3, -3)$): $(x + 3)^2 + (y + 3)^2 + (z + 3)^2 = 9$

Ответ:

Существует 8 таких сфер. Их уравнения:

• $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 + (z - 3)^2 = 9$

• $(x + 3)^2 + (y - 3)^2 + (z - 3)^2 = 9$

• $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 + (z - 3)^2 = 9$

• $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2 = 9$

• $(x + 3)^2 + (y + 3)^2 + (z - 3)^2 = 9$

• $(x + 3)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2 = 9$

• $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 + (z + 3)^2 = 9$

• $(x + 3)^2 + (y + 3)^2 + (z + 3)^2 = 9$