Номер 24.11, страница 130 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

натных плоскостей. Сколько таких сфер?

24.11. Найдите уравнение сферы радиуса $\sqrt{2}$, касающихся трех координатных прямых. Сколько таких сфер?

Дано:

Радиус сферы $R = \sqrt{2}$.

Сфера касается трех координатных прямых (осей).

Найти:

Уравнение сферы.

Количество таких сфер.

Решение:

Пусть центр сферы имеет координаты $(a, b, c)$, а радиус равен $R$. Общее уравнение сферы имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$.

Если сфера касается координатной оси, то расстояние от ее центра до этой оси равно радиусу $R$.

1. Расстояние от центра $(a, b, c)$ до оси $Ox$ (где $y=0, z=0$) равно $\sqrt{(b-0)^2 + (c-0)^2} = \sqrt{b^2 + c^2}$.

2. Расстояние от центра $(a, b, c)$ до оси $Oy$ (где $x=0, z=0$) равно $\sqrt{(a-0)^2 + (c-0)^2} = \sqrt{a^2 + c^2}$.

3. Расстояние от центра $(a, b, c)$ до оси $Oz$ (где $x=0, y=0$) равно $\sqrt{(a-0)^2 + (b-0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$.

По условию, сфера касается всех трех координатных прямых, поэтому эти расстояния должны быть равны радиусу $R$:

$\sqrt{b^2 + c^2} = R$

$\sqrt{a^2 + c^2} = R$

$\sqrt{a^2 + b^2} = R$

Возведем обе части каждого уравнения в квадрат:

$b^2 + c^2 = R^2 \quad (1)$

$a^2 + c^2 = R^2 \quad (2)$

$a^2 + b^2 = R^2 \quad (3)$

Из уравнений (1) и (2) следует, что $b^2 + c^2 = a^2 + c^2$, откуда $b^2 = a^2$. Это означает, что $b = \pm a$.

Из уравнений (2) и (3) следует, что $a^2 + c^2 = a^2 + b^2$, откуда $c^2 = b^2$. Это означает, что $c = \pm b$.

Таким образом, $a^2 = b^2 = c^2$. Пусть $a^2 = k^2$, тогда $b^2 = k^2$ и $c^2 = k^2$. Отсюда $|a| = |b| = |c| = k$.

Подставим $b^2=k^2$ и $c^2=k^2$ в уравнение (1):

$k^2 + k^2 = R^2$

$2k^2 = R^2$

$k^2 = \frac{R^2}{2}$

$k = \sqrt{\frac{R^2}{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}}$

По условию, радиус сферы $R = \sqrt{2}$. Подставим это значение:

$k = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$

Следовательно, $|a| = |b| = |c| = 1$. Это означает, что координаты центра сферы могут быть $a=\pm 1$, $b=\pm 1$, $c=\pm 1$.

Поскольку каждая из координат $a, b, c$ может принимать два значения ($\pm 1$), существует $2 \times 2 \times 2 = 8$ возможных комбинаций знаков для координат центра. Каждая такая комбинация соответствует уникальной сфере.

Примеры центров: $(1, 1, 1)$, $(1, 1, -1)$, $(1, -1, 1)$, $(-1, 1, 1)$, $(1, -1, -1)$, $(-1, 1, -1)$, $(-1, -1, 1)$, $(-1, -1, -1)$.

Радиус в квадрате $R^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Уравнение каждой такой сферы имеет вид: $(x \pm 1)^2 + (y \pm 1)^2 + (z \pm 1)^2 = 2$.

Ответ:

Уравнение сферы: $(x \pm 1)^2 + (y \pm 1)^2 + (z \pm 1)^2 = 2$.

Таких сфер 8.