Номер 24.14, страница 130 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

24.14. Как расположена точка:

a) $A(5; 1; 2);$

б) $B(4; 2; 2);$

в) $C(3; 2; 2)$

относительно сферы $x^2 + y^2 + z^2 - 8x + 4y + 2z - 4 = 0?$

24.15. Как расположена точе относительно...

Дано

Уравнение сферы: $x^2 + y^2 + z^2 - 8x + 4y + 2z - 4 = 0$.

Координаты точек: A(5; 1; 2), B(4; 2; 2), C(3; 2; 2).

Найти:

Как расположена каждая точка относительно сферы.

Решение

Для определения взаимного расположения точки $(x_p, y_p, z_p)$ относительно сферы, заданной уравнением $x^2 + y^2 + z^2 + Ax + By + Cz + D = 0$, необходимо подставить координаты точки в левую часть уравнения сферы.

Обозначим левую часть уравнения сферы как функцию $F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 8x + 4y + 2z - 4$.

• Если $F(x_p, y_p, z_p) < 0$, то точка находится внутри сферы.

• Если $F(x_p, y_p, z_p) = 0$, то точка находится на поверхности сферы.

• Если $F(x_p, y_p, z_p) > 0$, то точка находится вне сферы.

Для понимания геометрического смысла уравнения сферы, приведем его к каноническому виду $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$ путем выделения полных квадратов:

$x^2 - 8x + y^2 + 4y + z^2 + 2z - 4 = 0$

$(x^2 - 8x + 16) - 16 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + (z^2 + 2z + 1) - 1 - 4 = 0$

$(x-4)^2 + (y+2)^2 + (z+1)^2 = 16 + 4 + 1 + 4$

$(x-4)^2 + (y+2)^2 + (z+1)^2 = 25$

Таким образом, центр сферы находится в точке $O(4, -2, -1)$, а радиус сферы $R = \sqrt{25} = 5$.

Теперь подставим координаты каждой из заданных точек в функцию $F(x, y, z)$:

a) A(5; 1; 2)

Подставляем координаты точки A($x_A=5, y_A=1, z_A=2$) в выражение $F(x, y, z)$:

$F(5, 1, 2) = 5^2 + 1^2 + 2^2 - 8(5) + 4(1) + 2(2) - 4$

$F(5, 1, 2) = 25 + 1 + 4 - 40 + 4 + 4 - 4$

$F(5, 1, 2) = 30 - 40 + 8 - 4$

$F(5, 1, 2) = -10 + 4 = -2$

Поскольку $F(5, 1, 2) = -2 < 0$, точка A находится внутри сферы.

Ответ: Точка A находится внутри сферы.

б) B(4; 2; 2)

Подставляем координаты точки B($x_B=4, y_B=2, z_B=2$) в выражение $F(x, y, z)$:

$F(4, 2, 2) = 4^2 + 2^2 + 2^2 - 8(4) + 4(2) + 2(2) - 4$

$F(4, 2, 2) = 16 + 4 + 4 - 32 + 8 + 4 - 4$

$F(4, 2, 2) = 24 - 32 + 12 - 4$

$F(4, 2, 2) = -8 + 8 = 0$

Поскольку $F(4, 2, 2) = 0$, точка B находится на поверхности сферы.

Ответ: Точка B находится на поверхности сферы.

в) C(3; 2; 2)

Подставляем координаты точки C($x_C=3, y_C=2, z_C=2$) в выражение $F(x, y, z)$:

$F(3, 2, 2) = 3^2 + 2^2 + 2^2 - 8(3) + 4(2) + 2(2) - 4$

$F(3, 2, 2) = 9 + 4 + 4 - 24 + 8 + 4 - 4$

$F(3, 2, 2) = 17 - 24 + 12 - 4$

$F(3, 2, 2) = -7 + 8 = 1$

Поскольку $F(3, 2, 2) = 1 > 0$, точка C находится вне сферы.

Ответ: Точка C находится вне сферы.