Вопросы, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Что называется координатами вектора?

2. Какие векторы называются координатными векторами?

3. Как выражается длина вектора через его координаты?

4. Как выражается длина вектора через координаты его начала и конца?

5. Как обозначается скалярное произведение векторов?

6. Как определяется скалярное произведение векторов?

7. Что называется скалярным квадратом вектора?

8. Как выражается скалярное произведение векторов через их координаты?

9. Как выражается угол между векторами через их координаты?

1. Что называется координатами вектора?

Координатами вектора $\vec{a}$ в заданной системе координат называются числа, представляющие собой проекции этого вектора на оси координат или коэффициенты разложения вектора по базисным векторам. Например, для вектора $\vec{a}$ в декартовой системе координат с началом в начале координат, его координаты $(a_x, a_y, a_z)$ равны координатам его конца.

Ответ:

2. Какие векторы называются координатными векторами?

Координатными векторами (или орты) называются единичные векторы, направленные вдоль положительных направлений осей прямоугольной декартовой системы координат. В трехмерном пространстве это векторы $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$, $\vec{k}=(0,0,1)$.

Ответ:

3. Как выражается длина вектора через его координаты?

Длина (или модуль) вектора $\vec{a}$ с координатами $(a_x, a_y, a_z)$ выражается как квадратный корень из суммы квадратов его координат:$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$.

Ответ:

4. Как выражается длина вектора через координаты его начала и конца?

Если вектор $\vec{AB}$ имеет начало в точке $A(x_1, y_1, z_1)$ и конец в точке $B(x_2, y_2, z_2)$, то его координаты равны $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$. Длина вектора $\vec{AB}$ выражается формулой:$|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$.

Ответ:

5. Как обозначается скалярное произведение векторов?

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ обозначается как $\vec{a} \cdot \vec{b}$ (точка) или $(\vec{a}, \vec{b})$ (в скобках через запятую).

Ответ:

6. Как определяется скалярное произведение векторов?

Скалярное произведение двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется как произведение их длин на косинус угла $\phi$ между ними:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\phi$.Если хотя бы один из векторов является нулевым, скалярное произведение равно нулю.

Ответ:

7. Что называется скалярным квадратом вектора?

Скалярным квадратом вектора называется скалярное произведение вектора на самого себя.Для вектора $\vec{a}$, скалярный квадрат обозначается как $\vec{a}^2$ и равен квадрату его длины:$\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.

Ответ:

8. Как выражается скалярное произведение векторов через их координаты?

Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ заданы своими координатами в прямоугольной декартовой системе: $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$, то их скалярное произведение выражается как сумма произведений их соответствующих координат:$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.

Ответ:

9. Как выражается угол между векторами через их координаты?

Угол $\phi$ между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}=(a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b}=(b_x, b_y, b_z)$ можно найти, используя формулу для косинуса угла, полученную из определения скалярного произведения:$\cos\phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}}$.Тогда сам угол $\phi$ равен:$\phi = \arccos\left(\frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}}\right)$.

Ответ: