Номер 25.5, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

25.5. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вершина $D$ — начало координат, ребра $DC$, $DA$, $DD_1$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно и $DC = 4$, $DA = 3$, $DD_1 = 2$ (рис. 25.5). Найдите координаты вектора:

а) $\vec{DB}$;

б) $\vec{DA_1}$;

в) $\vec{DC_1}$;

г) $\vec{DB_1}$;

д) $\vec{AB}$;

е) $\vec{AC}$;

ж) $\vec{AB_1}$;

з) $\vec{AD_1}$;

и) $\vec{AC_1}$.

Рис. 25.5

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Вершина $D$ является началом координат, то есть $D(0, 0, 0)$.

Ребра $DC$, $DA$, $DD_1$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно.

Длины ребер: $DC = 4$, $DA = 3$, $DD_1 = 2$.

Перевод в СИ:

Поскольку в условии задачи не указаны конкретные единицы измерения (например, метры, сантиметры), будем считать, что все длины заданы в условных единицах длины. Следовательно, перевод в систему СИ не требуется, так как задача оперирует безразмерными или условными единицами.

Найти:

Координаты векторов:

а) $\vec{DB}$

б) $\vec{DA_1}$

в) $\vec{DC_1}$

г) $\vec{DB_1}$

д) $\vec{AB}$

е) $\vec{AC}$

ж) $\vec{AB_1}$

з) $\vec{AD_1}$

и) $\vec{AC_1}$

Решение:

Определим координаты всех вершин параллелепипеда в заданной системе координат:

Поскольку $D$ – начало координат, $D(0, 0, 0)$.

Ребро $DC$ лежит на оси $Ox$ и имеет длину 4, значит, $C(4, 0, 0)$.

Ребро $DA$ лежит на оси $Oy$ и имеет длину 3, значит, $A(0, 3, 0)$.

Ребро $DD_1$ лежит на оси $Oz$ и имеет длину 2, значит, $D_1(0, 0, 2)$.

Координаты остальных вершин можно найти, используя свойства прямоугольного параллелепипеда:

$B(DC, DA, 0) = B(4, 3, 0)$

$C_1(DC, 0, DD_1) = C_1(4, 0, 2)$

$A_1(0, DA, DD_1) = A_1(0, 3, 2)$

$B_1(DC, DA, DD_1) = B_1(4, 3, 2)$

Координаты вектора $\vec{XY}$ определяются как разность координат конечной точки $Y$ и начальной точки $X$: $\vec{XY} = (X_x - Y_x, X_y - Y_y, X_z - Y_z)$ .

Или, более точно: $\vec{XY} = (Y_x - X_x, Y_y - X_y, Y_z - X_z)$.

а) $\vec{DB}$

Начало вектора $D(0, 0, 0)$, конец $B(4, 3, 0)$.

$\vec{DB} = (4-0, 3-0, 0-0) = (4, 3, 0)$.

Ответ: $(4, 3, 0)$

б) $\vec{DA_1}$

Начало вектора $D(0, 0, 0)$, конец $A_1(0, 3, 2)$.

$\vec{DA_1} = (0-0, 3-0, 2-0) = (0, 3, 2)$.

Ответ: $(0, 3, 2)$

в) $\vec{DC_1}$

Начало вектора $D(0, 0, 0)$, конец $C_1(4, 0, 2)$.

$\vec{DC_1} = (4-0, 0-0, 2-0) = (4, 0, 2)$.

Ответ: $(4, 0, 2)$

г) $\vec{DB_1}$

Начало вектора $D(0, 0, 0)$, конец $B_1(4, 3, 2)$.

$\vec{DB_1} = (4-0, 3-0, 2-0) = (4, 3, 2)$.

Ответ: $(4, 3, 2)$

д) $\vec{AB}$

Начало вектора $A(0, 3, 0)$, конец $B(4, 3, 0)$.

$\vec{AB} = (4-0, 3-3, 0-0) = (4, 0, 0)$.

Ответ: $(4, 0, 0)$

е) $\vec{AC}$

Начало вектора $A(0, 3, 0)$, конец $C(4, 0, 0)$.

$\vec{AC} = (4-0, 0-3, 0-0) = (4, -3, 0)$.

Ответ: $(4, -3, 0)$

ж) $\vec{AB_1}$

Начало вектора $A(0, 3, 0)$, конец $B_1(4, 3, 2)$.

$\vec{AB_1} = (4-0, 3-3, 2-0) = (4, 0, 2)$.

Ответ: $(4, 0, 2)$

з) $\vec{AD_1}$

Начало вектора $A(0, 3, 0)$, конец $D_1(0, 0, 2)$.

$\vec{AD_1} = (0-0, 0-3, 2-0) = (0, -3, 2)$.

Ответ: $(0, -3, 2)$

и) $\vec{AC_1}$

Начало вектора $A(0, 3, 0)$, конец $C_1(4, 0, 2)$.

$\vec{AC_1} = (4-0, 0-3, 2-0) = (4, -3, 2)$.

Ответ: $(4, -3, 2)$