Номер 25.4, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

25.4. Векторы $\vec{a}_1(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{a}_2(x_2; y_2; z_2)$ коллинеарны. Как связаны между собой их координаты?

Дано: Векторы $\vec{a_1}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{a_2}(x_2; y_2; z_2)$ коллинеарны.

Найти: Как связаны между собой координаты векторов $\vec{a_1}$ и $\vec{a_2}$.

Решение: Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы $\vec{a_1}$ и $\vec{a_2}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое действительное число $k$ (скаляр), что $\vec{a_1} = k \vec{a_2}$. Это определение применимо и в случаях, когда один из векторов является нулевым вектором. Если, например, $\vec{a_1} = \vec{0}$, то для коллинеарности с любым вектором $\vec{a_2}$ (включая $\vec{0}$) достаточно взять $k=0$. Если оба вектора ненулевые, то $k \neq 0$. Распишем это равенство в координатной форме: $(x_1; y_1; z_1) = k (x_2; y_2; z_2)$. Отсюда следует система равенств для каждой координаты: $x_1 = kx_2$, $y_1 = ky_2$, $z_1 = kz_2$. Из этих равенств, если все координаты $x_2$, $y_2$, $z_2$ ненулевые, мы можем выразить $k$ как $k = \frac{x_1}{x_2}$, $k = \frac{y_1}{y_2}$, и $k = \frac{z_1}{z_2}$. Следовательно, для коллинеарных ненулевых векторов их соответствующие координаты пропорциональны: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}$. Важно отметить, что если какая-либо из координат $x_2$, $y_2$ или $z_2$ равна нулю, то соответствующая ей координата $x_1$, $y_1$ или $z_1$ также должна быть равна нулю для выполнения условия коллинеарности (при условии, что $k$ конечно и не равен $0/0$ в данном контексте, т.е. когда речь идет о существовании $k$). В случае нулевого вектора, например, если $\vec{a_2} = (0; 0; 0)$, то для коллинеарности $\vec{a_1}$ также должен быть $(0; 0; 0)$.

Ответ: Координаты коллинеарных векторов $\vec{a_1}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{a_2}(x_2; y_2; z_2)$ связаны соотношением, при котором существует такое действительное число $k$, что $x_1 = kx_2$, $y_1 = ky_2$, и $z_1 = kz_2$. Если оба вектора ненулевые, то их соответствующие координаты пропорциональны: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}$, с условием, что если какая-либо координата в знаменателе равна нулю, то соответствующая ей координата в числителе также должна быть равна нулю.