Номер 24.12, страница 130 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

24.12. Докажите, что уравнение $x^2 - 4x + y^2 + z^2 = 0$ задает сферу в пространстве. Найдите ее радиус и координаты центра.

Дано:

Уравнение: $x^2 - 4x + y^2 + z^2 = 0$

Найти:

1. Доказать, что уравнение задает сферу в пространстве.

2. Радиус сферы.

3. Координаты центра сферы.

Решение:

Доказательство:

Общее уравнение сферы в трехмерном пространстве имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты центра сферы, а $R$ — ее радиус. Для доказательства того, что данное уравнение задает сферу, необходимо преобразовать его к этому стандартному виду путем выделения полных квадратов.

Начнем с данного уравнения:

$x^2 - 4x + y^2 + z^2 = 0$

Выделим полный квадрат для членов, содержащих $x$. Для выражения $x^2 - 4x$ необходимо добавить и вычесть квадрат половины коэффициента при $x$, то есть $( -4/2 )^2 = ( -2 )^2 = 4$.

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + y^2 + z^2 = 0$

Первые три члена образуют полный квадрат $(x - 2)^2$. Таким образом, уравнение примет вид:

$(x - 2)^2 - 4 + y^2 + z^2 = 0$

Перенесем свободный член $-4$ в правую часть уравнения:

$(x - 2)^2 + y^2 + z^2 = 4$

Данное уравнение можно также записать как:

$(x - 2)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 2^2$

Это уравнение точно соответствует стандартной форме уравнения сферы. Следовательно, данное уравнение $x^2 - 4x + y^2 + z^2 = 0$ действительно задает сферу в пространстве.

Ответ:

Радиус:

Сравнивая преобразованное уравнение $(x - 2)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 2^2$ с общим уравнением сферы $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, мы видим, что $R^2 = 4$.

Таким образом, радиус сферы $R = \sqrt{4} = 2$.

Ответ:

Координаты центра:

Из сравнения уравнения $(x - 2)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 2^2$ с общим уравнением сферы $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$ получаем координаты центра $(x_0, y_0, z_0)$:

• $x_0 = 2$
• $y_0 = 0$
• $z_0 = 0$

Следовательно, координаты центра сферы: $(2, 0, 0)$.

Ответ: