Страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

23.8. В правильной треугольной приз-ме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, точки $D$ и $D_1$ — середи-ны ребер соответственно $AC$ и $A_1C_1$ (рис. 23.8). Точка $D$ — начало коор-динат, отрезки $DB, DA, DD_1$ лежат на осях координат $Ox, Oy$ и $Oz$ соответственно. Найдите координаты вершин этой призмы.

Рис. 23.8

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра равны 1.

Точка $D$ — середина ребра $AC$.

Точка $D_1$ — середина ребра $A_1C_1$.

Точка $D$ — начало координат $D(0,0,0)$.

Отрезок $DB$ лежит на оси $Ox$.

Отрезок $DA$ лежит на оси $Oy$.

Отрезок $DD_1$ лежит на оси $Oz$.

Перевод в СИ:

Длина ребра призмы $a = 1$ (единица длины).

Найти:

Координаты вершин призмы $A, B, C, A_1, B_1, C_1$.

Решение:

Так как призма правильная и все ее ребра равны 1, основанием является равносторонний треугольник со стороной $a=1$. Высота призмы также равна $a=1$.

Точка $D$ является началом координат: $D(0,0,0)$.

Отрезок $DA$ лежит на оси $Oy$. Поскольку $D$ — середина $AC$, длина отрезка $DA = AC/2 = a/2 = 1/2$.Следовательно, координата $A$ по оси $Oy$ равна $1/2$. Поскольку $DA$ лежит на положительной части оси $Oy$, $A$ имеет координаты $A(0, 1/2, 0)$.

Отрезок $DB$ лежит на оси $Ox$. $DB$ является медианой и высотой равностороннего треугольника $ABC$.Длина медианы равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.Для $a=1$, $DB = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Следовательно, координата $B$ по оси $Ox$ равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Поскольку $DB$ лежит на положительной части оси $Ox$, $B$ имеет координаты $B(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 0)$.

Отрезок $DD_1$ лежит на оси $Oz$. $DD_1$ — это высота призмы, равная длине ребра, то есть 1.Следовательно, координата $D_1$ по оси $Oz$ равна 1. Поскольку $DD_1$ лежит на положительной части оси $Oz$, $D_1$ имеет координаты $D_1(0,0,1)$.

Найдем координату вершины $C$. Поскольку $D$ — середина отрезка $AC$, и $D(0,0,0)$, $A(0, 1/2, 0)$, то координата $C$ симметрична координате $A$ относительно $D$ по оси $Oy$.$C(0, -1/2, 0)$.

Теперь найдем координаты верхних вершин $A_1, B_1, C_1$.Вершины верхнего основания призмы получаются сдвигом соответствующих вершин нижнего основания на вектор $\vec{DD_1}$.Вектор $\vec{DD_1}$ имеет координаты $(0-0, 0-0, 1-0) = (0,0,1)$.

$A_1 = A + \vec{DD_1} = (0, 1/2, 0) + (0,0,1) = (0, 1/2, 1)$.

$B_1 = B + \vec{DD_1} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 0) + (0,0,1) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 1)$.

$C_1 = C + \vec{DD_1} = (0, -1/2, 0) + (0,0,1) = (0, -1/2, 1)$.

Ответ:

Координаты вершин призмы:

$A(0, \frac{1}{2}, 0)$

$B(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 0)$

$C(0, -\frac{1}{2}, 0)$

$A_1(0, \frac{1}{2}, 1)$

$B_1(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 1)$

$C_1(0, -\frac{1}{2}, 1)$

23.9. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, вершина $E$ — начало координат, отрезки $ED$, $EA$, $EE_1$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно (рис. 23.9). Найдите координаты вершин этой призмы.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Вершина $E$ — начало координат: $E=(0,0,0)$.

Отрезок $ED$ лежит на оси $Ox$.

Отрезок $EA$ лежит на оси $Oy$.

Отрезок $EE_1$ лежит на оси $Oz$.

Найти:

Координаты всех вершин призмы.

Решение:

Призма является правильной шестиугольной, что означает, что ее основания представляют собой правильные шестиугольники, а боковые грани — прямоугольники. Все ребра призмы равны 1. Это означает, что длина стороны основания шестиугольника $s=1$, и высота призмы $h=1$.

1.Координаты вершины $E$:

Согласно условию, вершина $E$ является началом координат: $E=(0,0,0)$.

2.Координаты вершины $E_1$:

Отрезок $EE_1$ лежит на оси $Oz$, и его длина равна 1 (т.к. это ребро призмы). Следовательно, $E_1=(0,0,1)$.

3.Координаты вершины $D$:

Отрезок $ED$ лежит на оси $Ox$. $ED$ является ребром основания шестиугольника, поэтому его длина равна 1. Следовательно, $D=(1,0,0)$.

4.Координаты вершины $A$:

Отрезок $EA$ лежит на оси $Oy$. Вершины шестиугольника перечислены в последовательном порядке $A, B, C, D, E, F$. Это означает, что $ED$ и $EF$ являются соседними ребрами, выходящими из вершины $E$. $EA$ же является главной диагональю шестиугольника (соединяет противоположные вершины). Длина главной диагонали правильного шестиугольника со стороной $s$ равна $2s$. Однако, $EA$ в данном случае соединяет вершины, расположенные через одну (например, $E \to F \to A$ - это путь по двум ребрам). Длина такой диагонали (например, $FA$ или $EB$) равна $s\sqrt{3}$. Поскольку $s=1$, длина диагонали $EA$ равна $\sqrt{3}$. Так как $EA$ лежит на оси $Oy$, координата $A$ будет $(0,\sqrt{3},0)$.

5.Координаты вершин $F, B, C$ в основании ($z=0$):

Теперь, когда у нас есть $E=(0,0,0)$, $D=(1,0,0)$ и $A=(0, \sqrt{3}, 0)$, мы можем найти остальные вершины основания. Основание — это правильный шестиугольник в плоскости $xy$.Расположим центр шестиугольника $O_{hex}$. Для правильного шестиугольника со стороной $s=1$, если $E=(0,0,0)$ и $D=(1,0,0)$ (ребро $ED$ вдоль оси $Ox$), то центр шестиугольника $O_{hex}$ находится в точке $({1}/{2}, {\sqrt{3}}/{2}, 0)$. Мы можем проверить это, так как расстояние от центра до любой вершины шестиугольника равно его стороне, т.е. 1.Например, расстояние от $O_{hex}$ до $E$: $\sqrt{(0.5-0)^2 + (\sqrt{3}/2-0)^2} = \sqrt{0.25+0.75} = \sqrt{1} = 1$.Теперь найдем остальные вершины, используя центр $O_{hex}$ и углы в $60^\circ$ между радиус-векторами к соседним вершинам от центра.Угловая позиция $E$ относительно $O_{hex}$: вектор $\vec{O_{hex}E} = (0 - 0.5, 0 - \sqrt{3}/2) = (-0.5, -\sqrt{3}/2)$. Угол этого вектора с положительной осью $Ox$ равен $-120^\circ$ или $240^\circ$.Тогда координаты вершин (пересчитанные относительно $O_{hex}$, а затем сдвинутые):

• $E = (0.5 + 1 \cdot \cos(240^\circ), \sqrt{3}/2 + 1 \cdot \sin(240^\circ)) = (0.5 - 0.5, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2) = (0,0,0)$.
• $D = (0.5 + 1 \cdot \cos(240^\circ+60^\circ), \sqrt{3}/2 + 1 \cdot \sin(240^\circ+60^\circ)) = (0.5 + 1 \cdot \cos(300^\circ), \sqrt{3}/2 + 1 \cdot \sin(300^\circ)) = (0.5 + 0.5, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2) = (1,0,0)$.
• $C = (0.5 + 1 \cdot \cos(300^\circ+60^\circ), \sqrt{3}/2 + 1 \cdot \sin(300^\circ+60^\circ)) = (0.5 + 1 \cdot \cos(0^\circ), \sqrt{3}/2 + 1 \cdot \sin(0^\circ)) = (0.5 + 1, \sqrt{3}/2 + 0) = (1.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• $B = (0.5 + 1 \cdot \cos(0^\circ+60^\circ), \sqrt{3}/2 + 1 \cdot \sin(0^\circ+60^\circ)) = (0.5 + 1 \cdot \cos(60^\circ), \sqrt{3}/2 + 1 \cdot \sin(60^\circ)) = (0.5 + 0.5, \sqrt{3}/2 + \sqrt{3}/2) = (1, \sqrt{3}, 0)$.
• $A = (0.5 + 1 \cdot \cos(60^\circ+60^\circ), \sqrt{3}/2 + 1 \cdot \sin(60^\circ+60^\circ)) = (0.5 + 1 \cdot \cos(120^\circ), \sqrt{3}/2 + 1 \cdot \sin(120^\circ)) = (0.5 - 0.5, \sqrt{3}/2 + \sqrt{3}/2) = (0, \sqrt{3}, 0)$.
• $F = (0.5 + 1 \cdot \cos(120^\circ+60^\circ), \sqrt{3}/2 + 1 \cdot \sin(120^\circ+60^\circ)) = (0.5 + 1 \cdot \cos(180^\circ), \sqrt{3}/2 + 1 \cdot \sin(180^\circ)) = (0.5 - 1, \sqrt{3}/2 + 0) = (-0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Все вычисленные координаты вершин основания в плоскости $z=0$:

$A = (0, \sqrt{3}, 0)$

$B = (1, \sqrt{3}, 0)$

$C = (1.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D = (1,0,0)$

$E = (0,0,0)$

$F = (-0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

6.Координаты вершин верхнего основания ($z=1$):

Вершины верхнего основания $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$ получены смещением соответствующих вершин нижнего основания на 1 единицу по оси $Oz$.

$A_1 = (0, \sqrt{3}, 1)$

$B_1 = (1, \sqrt{3}, 1)$

$C_1 = (1.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

$D_1 = (1,0,1)$

$E_1 = (0,0,1)$

$F_1 = (-0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Ответ:

Координаты вершин призмы:

$A = (0, \sqrt{3}, 0)$

$B = (1, \sqrt{3}, 0)$

$C = (1.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D = (1,0,0)$

$E = (0,0,0)$

$F = (-0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$A_1 = (0, \sqrt{3}, 1)$

$B_1 = (1, \sqrt{3}, 1)$

$C_1 = (1.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

$D_1 = (1,0,1)$

$E_1 = (0,0,1)$

$F_1 = (-0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

23.10. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $2$, точка $O$ — центр основания, точка $G$ — середина ребра $AB$, отрезки $OC$, $OG$, $OS$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно (рис. 23.10). Найдите координаты вершин этой пирамиды.

Рис. 23.10

Дано:

Пирамида $SABCDEF$ — правильная шестиугольная.

Сторона основания $a = 1$.

Боковые ребра $l = 2$.

Точка $O$ — центр основания.

Точка $G$ — середина ребра $AB$.

Отрезки $OC$, $OG$, $OS$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно.

Перевод в систему СИ:

Данные величины являются безразмерными длинами, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Координаты вершин пирамиды: $A, B, C, D, E, F, S$.

Решение:

1. Установим систему координат.

По условию, точка $O$ является центром основания и началом координат, т.е. $O(0, 0, 0)$.

Отрезок $OS$ лежит на оси $Oz$. Таким образом, координаты вершины $S$ будут $(0, 0, z_S)$, где $z_S$ — высота пирамиды.

Отрезок $OC$ лежит на оси $Ox$. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны основания. Поскольку сторона основания $a = 1$, то $OC = 1$. Примем, что $OC$ лежит на положительной полуоси $Ox$. Таким образом, координата вершины $C$ будет $C(1, 0, 0)$.

Используя $C(1, 0, 0)$ и то, что основание является правильным шестиугольником с центром в $O(0,0,0)$ и стороной $a=1$, можем найти координаты остальных вершин основания, двигаясь по 60 градусов от оси $Ox$:

• $C = (1, 0, 0)$
• $D = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $E = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $F = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
• $A = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $B = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Теперь проверим условие для отрезка $OG$. Точка $G$ — середина ребра $AB$. Найдем ее координаты:

$G = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right)$

$G = \left(\frac{-1/2 + 1/2}{2}, \frac{-\sqrt{3}/2 + (-\sqrt{3}/2)}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(0, \frac{-2\sqrt{3}/2}{2}, 0\right) = \left(0, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$.

Таким образом, отрезок $OG$ действительно лежит на оси $Oy$ (на ее отрицательной части), что соответствует условию задачи.

2. Найдем высоту пирамиды ($OS$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOC$. Гипотенуза $SC$ является боковым ребром пирамиды, ее длина $l = 2$. Катет $OC$ — радиус описанной окружности основания, $OC = a = 1$. Катет $OS$ — это высота пирамиды, обозначим ее $h_S$.

По теореме Пифагора:

$OS^2 + OC^2 = SC^2$

$h_S^2 + 1^2 = 2^2$

$h_S^2 + 1 = 4$

$h_S^2 = 3$

$h_S = \sqrt{3}$

Поскольку $OS$ лежит на оси $Oz$, а вершина $S$ находится над центром основания, ее координата по $z$ будет положительной. Следовательно, $S = (0, 0, \sqrt{3})$.

3. Окончательные координаты вершин.

Вершина $S$: $S(0, 0, \sqrt{3})$

Вершина $A$: $A(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Вершина $B$: $B(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Вершина $C$: $C(1, 0, 0)$

Вершина $D$: $D(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Вершина $E$: $E(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Вершина $F$: $F(-1, 0, 0)$

Ответ:

Координаты вершин пирамиды: $A(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $B(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $C(1, 0, 0)$, $D(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $E(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $F(-1, 0, 0)$, $S(0, 0, \sqrt{3})$.

23.11. Что представляет собой геометрическое место точек пространства, для которых:

а) первая координата равна нулю;

б) вторая координата равна нулю;

в) третья координата равна нулю;

г) первая и вторая координаты равны нулю;

д) первая и третья координаты равны нулю;

е) вторая и третья координаты равны нулю;

ж) все координаты равны нулю?

а) первая координата равна нулю;

Решение

Геометрическое место точек пространства, для которых первая координата ($x$) равна нулю, то есть $x = 0$, представляет собой координатную плоскость $yz$. На этой плоскости любая точка имеет координаты вида $(0, y, z)$.

Ответ: Координатная плоскость $yz$.

б) вторая координата равна нулю;

Решение

Геометрическое место точек пространства, для которых вторая координата ($y$) равна нулю, то есть $y = 0$, представляет собой координатную плоскость $xz$. На этой плоскости любая точка имеет координаты вида $(x, 0, z)$.

Ответ: Координатная плоскость $xz$.

в) третья координата равна нулю;

Решение

Геометрическое место точек пространства, для которых третья координата ($z$) равна нулю, то есть $z = 0$, представляет собой координатную плоскость $xy$. На этой плоскости любая точка имеет координаты вида $(x, y, 0)$.

Ответ: Координатная плоскость $xy$.

г) первая и вторая координаты равны нулю;

Решение

Геометрическое место точек пространства, для которых первая ($x$) и вторая ($y$) координаты равны нулю, то есть $x = 0$ и $y = 0$, представляет собой координатную ось $z$. На этой оси любая точка имеет координаты вида $(0, 0, z)$.

Ответ: Координатная ось $z$.

д) первая и третья координаты равны нулю;

Решение

Геометрическое место точек пространства, для которых первая ($x$) и третья ($z$) координаты равны нулю, то есть $x = 0$ и $z = 0$, представляет собой координатную ось $y$. На этой оси любая точка имеет координаты вида $(0, y, 0)$.

Ответ: Координатная ось $y$.

е) вторая и третья координаты равны нулю;

Решение

Геометрическое место точек пространства, для которых вторая ($y$) и третья ($z$) координаты равны нулю, то есть $y = 0$ и $z = 0$, представляет собой координатную ось $x$. На этой оси любая точка имеет координаты вида $(x, 0, 0)$.

Ответ: Координатная ось $x$.

ж) все координаты равны нулю?

Решение

Геометрическое место точек пространства, для которых все координаты равны нулю, то есть $x = 0$, $y = 0$ и $z = 0$, представляет собой единственную точку – начало координат.

Ответ: Начало координат (точка).