Страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

22.16. Шар массой 500 кг и объемом 0,7 м³ удерживается в подводном положении при помощи трех тросов одинаковой длины (рис. 22.11). Вычислите силу натяжения каждого троса, если угол между двумя любыми тросами равен 60°.

Рис. 22.11

Дано:

Масса шара $m = 500 \text{ кг}$

Объем шара $V = 0.7 \text{ м}^3$

Количество тросов $N = 3$

Угол между любыми двумя тросами $\theta = 60^\circ$

Перевод в СИ:

Все величины уже приведены в системе СИ.

Дополнительные константы:

Плотность воды $\rho_{в} = 1000 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения $g = 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Сила натяжения каждого троса $T$

Решение:

На шар, находящийся в равновесии в подводном положении, действуют следующие силы:

1. Сила тяжести ($F_g$), направленная вертикально вниз: $F_g = mg$.
2. Архимедова (выталкивающая) сила ($F_b$), направленная вертикально вверх: $F_b = \rho_в g V$.
3. Силы натяжения трех тросов ($T_1, T_2, T_3$). Поскольку шар имеет плотность $m/V = 500 \text{ кг} / 0.7 \text{ м}^3 \approx 714.3 \text{ кг/м}^3$, что меньше плотности воды ($1000 \text{ кг/м}^3$), он будет стремиться всплыть. Следовательно, тросы удерживают его, действуя с силой натяжения, направленной вниз. Так как тросы одинаковой длины и расположены симметрично, модули сил натяжения равны: $T_1 = T_2 = T_3 = T$.

По условию задачи, угол между любыми двумя тросами равен $60^\circ$. Если три вектора равной величины $T$ расположены так, что угол между любой парой составляет $60^\circ$, то их векторная сумма $\vec{F}_T = \vec{T}_1 + \vec{T}_2 + \vec{T}_3$ будет направлена строго вертикально вниз (в силу симметрии). Модуль этой результирующей силы натяжения можно найти следующим образом:

$|\vec{F}_T|^2 = (\vec{T}_1 + \vec{T}_2 + \vec{T}_3) \cdot (\vec{T}_1 + \vec{T}_2 + \vec{T}_3)$

$|\vec{F}_T|^2 = |\vec{T}_1|^2 + |\vec{T}_2|^2 + |\vec{T}_3|^2 + 2(\vec{T}_1 \cdot \vec{T}_2 + \vec{T}_1 \cdot \vec{T}_3 + \vec{T}_2 \cdot \vec{T}_3)$

Так как $|\vec{T}_1| = |\vec{T}_2| = |\vec{T}_3| = T$ и угол между любыми двумя тросами $\theta = 60^\circ$, то скалярное произведение $\vec{T}_i \cdot \vec{T}_j = T^2 \cos \theta = T^2 \cos 60^\circ = T^2 \cdot 0.5$.

$|\vec{F}_T|^2 = T^2 + T^2 + T^2 + 2(T^2 \cdot 0.5 + T^2 \cdot 0.5 + T^2 \cdot 0.5)$

$|\vec{F}_T|^2 = 3T^2 + 2(1.5 T^2)$

$|\vec{F}_T|^2 = 3T^2 + 3T^2$

$|\vec{F}_T|^2 = 6T^2$

Следовательно, модуль результирующей силы натяжения равен: $|\vec{F}_T| = T\sqrt{6}$.

Для того чтобы шар находился в равновесии, сумма всех действующих на него сил должна быть равна нулю. Рассмотрим проекции сил на вертикальную ось (направленную вверх):

$\sum F_y = 0$

$F_b - F_g - |\vec{F}_T| = 0$

Отсюда следует: $F_b = F_g + |\vec{F}_T|$

Подставим выражения для сил:

$\rho_в g V = mg + T\sqrt{6}$

Выразим силу натяжения $T$:

$T\sqrt{6} = \rho_в g V - mg$

$T = \frac{\rho_в g V - mg}{\sqrt{6}}$

$T = \frac{g(\rho_в V - m)}{\sqrt{6}}$

Подставим числовые значения:

$T = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 (1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 0.7 \text{ м}^3 - 500 \text{ кг})}{\sqrt{6}}$

$T = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 (700 \text{ кг} - 500 \text{ кг})}{\sqrt{6}}$

$T = \frac{9.8 \cdot 200}{\sqrt{6}}$

$T = \frac{1960}{\sqrt{6}}$

$T \approx \frac{1960}{2.44949}$

$T \approx 800.16 \text{ Н}$

Ответ:

Сила натяжения каждого троса составляет примерно $800.16 \text{ Н}$.

22.17. Повторите понятие прямоугольной системы координат на плос-кости.

Понятие прямоугольной системы координат на плоскости

Прямоугольная (или декартова) система координат на плоскости представляет собой способ однозначного определения положения любой точки на плоскости с помощью пары чисел, называемых координатами. Она состоит из двух взаимно перпендикулярных числовых осей, пересекающихся в одной точке, называемой началом координат.

Основные элементы прямоугольной системы координат:

Оси координат:

— Ось абсцисс (ось X): Горизонтальная числовая прямая. Положительное направление обычно указывается вправо от начала координат, а отрицательное — влево.

— Ось ординат (ось Y): Вертикальная числовая прямая, перпендикулярная оси X. Положительное направление обычно указывается вверх от начала координат, а отрицательное — вниз.

Начало координат (точка O): Точка пересечения осей X и Y. Её координаты равны $(0, 0)$.

Единичный отрезок: Отрезок, принятый за единицу измерения длины на обеих осях. Обычно выбирается одинаковым для обеих осей, но может быть и разным в зависимости от задачи или масштаба.

Определение положения точки:

Положение любой точки P на плоскости определяется упорядоченной парой чисел $(x, y)$, где:

— x (абсцисса): Это координата точки на оси X. Она равна расстоянию от оси Y до точки P, измеренному вдоль горизонтальной линии, параллельной оси X (со знаком: положительная, если точка справа от оси Y, отрицательная, если слева).

— y (ордината): Это координата точки на оси Y. Она равна расстоянию от оси X до точки P, измеренному вдоль вертикальной линии, параллельной оси Y (со знаком: положительная, если точка выше оси X, отрицательная, если ниже).

Проекции точки P на оси X и Y определяют её абсциссу и ординату соответственно. Каждой точке на плоскости соответствует единственная пара координат, и каждой паре координат соответствует единственная точка на плоскости.

Четверти (квадранты):

Оси координат делят плоскость на четыре области, называемые четвертями или квадрантами, которые нумеруются против часовой стрелки, начиная с верхней правой четверти:

— I четверть: $x > 0, y > 0$

— II четверть: $x < 0, y > 0$

— III четверть: $x < 0, y < 0$

— IV четверть: $x > 0, y < 0$

Прямоугольная система координат является фундаментальным инструментом в математике, физике, инженерии и многих других областях, позволяя преобразовывать геометрические задачи в алгебраические и наоборот.

Ответ: Прямоугольная система координат на плоскости - это система, состоящая из двух взаимно перпендикулярных числовых осей (осей абсцисс и ординат), пересекающихся в начале координат, которая позволяет однозначно определить положение любой точки на плоскости с помощью упорядоченной пары чисел (координат).

22.18. Для точек $A_1(x_1; y_1)$ и $A_2(x_2; y_2)$ на координатной плоскости укажите координаты середины отрезка $A_1A_2$.

Для точек $A_1(x_1; y_1)$ и $A_2(x_2; y_2)$ на координатной плоскости укажите координаты середины отрезка $A_1A_2$.

Дано

точки $A_1(x_1; y_1)$ и $A_2(x_2; y_2)$.

Найти:

координаты середины отрезка $A_1A_2$, обозначим их как $M(x_M; y_M)$.

Решение

Для нахождения координат середины отрезка, заданного координатами его конечных точек $A_1(x_1; y_1)$ и $A_2(x_2; y_2)$, используются следующие формулы:

координата абсциссы середины отрезка $x_M$ равна среднему арифметическому абсцисс конечных точек:

$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$

координата ординаты середины отрезка $y_M$ равна среднему арифметическому ординат конечных точек:

$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$

таким образом, координаты середины отрезка $A_1A_2$ будут $M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$.

Ответ:

координаты середины отрезка $A_1A_2$ равны $M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$.

22.19. Для точек $A_1(x_1; y_1)$ и $A_2(x_2; y_2)$ на координатной плоскости укажите координаты точки A отрезка $A_1A_2$, делящей этот отрезок в отношении $k$, т. е. $\frac{A_1A}{AA_2} = k$.

Дано:

Точки $A_1(x_1; y_1)$ и $A_2(x_2; y_2)$ на координатной плоскости.

Точка $A$ делит отрезок $A_1A_2$ в отношении $k$, то есть $\frac{A_1A}{AA_2} = k$.

Найти:

Координаты точки $A(x; y)$.

Решение:

Пусть точка $A$ имеет координаты $(x; y)$. Вектор $\vec{A_1A}$ направлен от точки $A_1$ к точке $A$, а вектор $\vec{AA_2}$ направлен от точки $A$ к точке $A_2$. Поскольку точка $A$ лежит на отрезке $A_1A_2$, векторы $\vec{A_1A}$ и $\vec{AA_2}$ сонаправлены.

Из условия $\frac{A_1A}{AA_2} = k$ следует, что отношение длин отрезков равно $k$. Это означает, что вектор $\vec{A_1A}$ в $k$ раз длиннее вектора $\vec{AA_2}$, то есть $\vec{A_1A} = k \cdot \vec{AA_2}$.

Координаты вектора $\vec{A_1A}$ равны $(x - x_1; y - y_1)$.

Координаты вектора $\vec{AA_2}$ равны $(x_2 - x; y_2 - y)$.

Приравнивая соответствующие координаты векторов, получаем систему уравнений:

$x - x_1 = k(x_2 - x)$

$y - y_1 = k(y_2 - y)$

Решим первое уравнение относительно $x$:

$x - x_1 = k x_2 - k x$

$x + k x = x_1 + k x_2$

$x(1 + k) = x_1 + k x_2$

$x = \frac{x_1 + k x_2}{1 + k}$

Решим второе уравнение относительно $y$:

$y - y_1 = k y_2 - k y$

$y + k y = y_1 + k y_2$

$y(1 + k) = y_1 + k y_2$

$y = \frac{y_1 + k y_2}{1 + k}$

Ответ:

Координаты точки $A(x; y)$, делящей отрезок $A_1A_2$ в отношении $k$, определяются по формулам:

$x = \frac{x_1 + k x_2}{1 + k}$

$y = \frac{y_1 + k y_2}{1 + k}$

22.20. По аналогии с понятием прямоугольной системы координат на плоскости попробуйте определить понятие прямоугольной системы координат в пространстве.

Решение

По аналогии с прямоугольной системой координат на плоскости, которая определяется двумя взаимно перпендикулярными числовыми прямыми (осями координат), пересекающимися в начале отсчета, прямоугольная система координат в пространстве (также известная как декартова система координат) определяется следующим образом:

Она состоит из трех взаимно перпендикулярных координатных осей, пересекающихся в одной общей точке, называемой началом координат. Эти оси обычно обозначаются как ось абсцисс (x), ось ординат (y) и ось аппликат (z). Каждая из этих осей является числовой прямой, на которой установлено начало отсчета (совпадающее с началом координат) и выбран единичный отрезок. Оси x, y и z образуют правую или левую тройку, в зависимости от ориентации.

Каждая точка в пространстве $P$ однозначно определяется упорядоченной тройкой действительных чисел $(x, y, z)$, которые называются координатами этой точки. Здесь $x$ - это координата по оси абсцисс, $y$ - по оси ординат, и $z$ - по оси аппликат. Эти координаты представляют собой расстояния от точки до соответствующих координатных плоскостей: $x$ - это расстояние от точки до плоскости $yz$, $y$ - до плоскости $xz$, а $z$ - до плоскости $xy$.

Таким образом, прямоугольная система координат в пространстве позволяет каждой точке пространства поставить в соответствие уникальный набор из трех координат $(x, y, z)$, и наоборот, каждой тройке чисел $(x, y, z)$ поставить в соответствие уникальную точку в пространстве.

Ответ: Прямоугольная система координат в пространстве определяется тремя взаимно перпендикулярными числовыми осями (x, y, z), пересекающимися в одной точке (начале координат), что позволяет однозначно определить положение любой точки в пространстве с помощью упорядоченной тройки координат $(x, y, z)$.