Страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

22.6. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 22.8). Найдите угол между векторами:

а) $\vec{AA_1}$ и $\vec{BC_1}$

б) $\vec{AA_1}$ и $\vec{DE_1}$

в) $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$

г) $\vec{AB}$ и $\vec{C_1D_1}$

д) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1C_1}$

е) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1D_1}$

ж) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1E_1}$

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Найдем угол между заданными парами векторов.

Пусть длина ребра призмы $a = 1$.

Для удобства вычислений расположим центр нижнего основания в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин будут:

$A = (1, 0, 0)$
$B = (0.5, \sqrt{3}/2, 0)$
$C = (-0.5, \sqrt{3}/2, 0)$
$D = (-1, 0, 0)$
$E = (-0.5, -\sqrt{3}/2, 0)$
$F = (0.5, -\sqrt{3}/2, 0)$

Вершины верхнего основания $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$ имеют те же x, y координаты, но z-координату 1 (так как высота призмы равна длине ребра, т.е. 1):

$A_1 = (1, 0, 1)$
$B_1 = (0.5, \sqrt{3}/2, 1)$
$C_1 = (-0.5, \sqrt{3}/2, 1)$
$D_1 = (-1, 0, 1)$
$E_1 = (-0.5, -\sqrt{3}/2, 1)$
$F_1 = (0.5, -\sqrt{3}/2, 1)$

Формула для нахождения угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$: $\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

а) $\vec{A A_1}$ и $\vec{B C_1}$

Дано:
Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной призмой.
Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Найти:
Угол между векторами $\vec{A A_1}$ и $\vec{B C_1}$.

Решение:
Вектор $\vec{A A_1}$ является вектором, направленным вдоль бокового ребра. Его координаты: $\vec{A A_1} = A_1 - A = (1-1, 0-0, 1-0) = (0, 0, 1)$. Его длина $|\vec{A A_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$.
Вектор $\vec{B C_1}$ соединяет вершину B нижнего основания с вершиной $C_1$ верхнего основания. Его координаты: $\vec{B C_1} = C_1 - B = (-0.5 - 0.5, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-1, 0, 1)$. Его длина $|\vec{B C_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{A A_1} \cdot \vec{B C_1} = (0)( -1) + (0)(0) + (1)(1) = 1$.
Найдем косинус угла $\theta$ между векторами: $\cos\theta = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, $\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

б) $\vec{A A_1}$ и $\vec{D E_1}$

Дано:
Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной призмой.
Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Найти:
Угол между векторами $\vec{A A_1}$ и $\vec{D E_1}$.

Решение:
Вектор $\vec{A A_1} = (0, 0, 1)$, $|\vec{A A_1}| = 1$.
Вектор $\vec{D E_1} = E_1 - D = (-0.5 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (0.5, -\sqrt{3}/2, 1)$. Его длина $|\vec{D E_1}| = \sqrt{(0.5)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{0.25 + 0.75 + 1} = \sqrt{2}$.
Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{A A_1} \cdot \vec{D E_1} = (0)(0.5) + (0)(-\sqrt{3}/2) + (1)(1) = 1$.
Найдем косинус угла $\theta$ между векторами: $\cos\theta = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, $\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

в) $\vec{A B}$ и $\vec{B C_1}$

Дано:
Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной призмой.
Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Найти:
Угол между векторами $\vec{A B}$ и $\vec{B C_1}$.

Решение:
Вектор $\vec{A B} = B - A = (0.5 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-0.5, \sqrt{3}/2, 0)$. Его длина $|\vec{A B}| = \sqrt{(-0.5)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{0.25 + 0.75} = 1$.
Вектор $\vec{B C_1} = (-1, 0, 1)$ (из пункта а), его длина $|\vec{B C_1}| = \sqrt{2}$.
Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{A B} \cdot \vec{B C_1} = (-0.5)(-1) + (\sqrt{3}/2)(0) + (0)(1) = 0.5$.
Найдем косинус угла $\theta$ между векторами: $\cos\theta = \frac{0.5}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{0.5}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.
Следовательно, $\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$

г) $\vec{A B}$ и $\vec{C_1 D_1}$

Дано:
Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной призмой.
Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Найти:
Угол между векторами $\vec{A B}$ и $\vec{C_1 D_1}$.

Решение:
Вектор $\vec{A B} = (-0.5, \sqrt{3}/2, 0)$, его длина $|\vec{A B}| = 1$.
Вектор $\vec{C_1 D_1} = D_1 - C_1 = (-1 - (-0.5), 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 1) = (-0.5, -\sqrt{3}/2, 0)$. Его длина $|\vec{C_1 D_1}| = \sqrt{(-0.5)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{0.25 + 0.75} = 1$.
Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{A B} \cdot \vec{C_1 D_1} = (-0.5)(-0.5) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}/2) + (0)(0) = 0.25 - 0.75 = -0.5$.
Найдем косинус угла $\theta$ между векторами: $\cos\theta = \frac{-0.5}{1 \cdot 1} = -0.5$.
Следовательно, $\theta = \arccos(-0.5) = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$

д) $\vec{A C}$ и $\vec{B C_1}$

Дано:
Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной призмой.
Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Найти:
Угол между векторами $\vec{A C}$ и $\vec{B C_1}$.

Решение:
Вектор $\vec{A C} = C - A = (-0.5 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-1.5, \sqrt{3}/2, 0)$. Его длина $|\vec{A C}| = \sqrt{(-1.5)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{2.25 + 0.75} = \sqrt{3}$.
Вектор $\vec{B C_1} = (-1, 0, 1)$ (из пункта а), его длина $|\vec{B C_1}| = \sqrt{2}$.
Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{A C} \cdot \vec{B C_1} = (-1.5)(-1) + (\sqrt{3}/2)(0) + (0)(1) = 1.5$.
Найдем косинус угла $\theta$ между векторами: $\cos\theta = \frac{1.5}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1.5}{\sqrt{6}} = \frac{3/2}{\sqrt{6}} = \frac{3}{2\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.
Следовательно, $\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)$

е) $\vec{A C}$ и $\vec{B_1 D_1}$

Дано:
Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной призмой.
Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Найти:
Угол между векторами $\vec{A C}$ и $\vec{B_1 D_1}$.

Решение:
Вектор $\vec{A C} = (-1.5, \sqrt{3}/2, 0)$, его длина $|\vec{A C}| = \sqrt{3}$.
Вектор $\vec{B_1 D_1} = D_1 - B_1 = (-1 - 0.5, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 1) = (-1.5, -\sqrt{3}/2, 0)$. Его длина $|\vec{B_1 D_1}| = \sqrt{(-1.5)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{2.25 + 0.75} = \sqrt{3}$.
Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{A C} \cdot \vec{B_1 D_1} = (-1.5)(-1.5) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}/2) + (0)(0) = 2.25 - 0.75 = 1.5$.
Найдем косинус угла $\theta$ между векторами: $\cos\theta = \frac{1.5}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1.5}{3} = 0.5$.
Следовательно, $\theta = \arccos(0.5) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

ж) $\vec{A C}$ и $\vec{B_1 E_1}$

Дано:
Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной призмой.
Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Найти:
Угол между векторами $\vec{A C}$ и $\vec{B_1 E_1}$.

Решение:
Вектор $\vec{A C} = (-1.5, \sqrt{3}/2, 0)$, его длина $|\vec{A C}| = \sqrt{3}$.
Вектор $\vec{B_1 E_1} = E_1 - B_1 = (-0.5 - 0.5, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 1) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$. Его длина $|\vec{B_1 E_1}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.
Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{A C} \cdot \vec{B_1 E_1} = (-1.5)(-1) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}) + (0)(0) = 1.5 - 3/2 = 1.5 - 1.5 = 0$.
Найдем косинус угла $\theta$ между векторами: $\cos\theta = \frac{0}{\sqrt{3} \cdot 2} = 0$.
Следовательно, $\theta = \arccos(0) = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

22.7. Для единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 22.4) найдите скалярное произведение векторов:

а) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1D_1}$;

б) $\vec{AB}$ и $\vec{BC_1}$;

в) $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$.

Рис. 22.4

Дано

Единичный куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Найти

а) Скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{B_1 D_1}$.

б) Скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{B_1 C_1}$.

в) Скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$.

Решение

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$.

Ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$, ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Так как куб единичный, длина его ребра равна $1$.

Координаты вершин куба будут:

$A = (0,0,0)$
$B = (1,0,0)$
$C = (1,1,0)$
$D = (0,1,0)$
$A_1 = (0,0,1)$
$B_1 = (1,0,1)$
$C_1 = (1,1,1)$
$D_1 = (0,1,1)$

Скалярное произведение векторов $\vec{u} = (u_x, u_y, u_z)$ и $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$ вычисляется по формуле: $ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z $.

a)

Найдем координаты векторов $\vec{AC}$ и $\vec{B_1 D_1}$:

$\vec{AC} = C - A = (1-0, 1-0, 0-0) = (1,1,0)$
$\vec{B_1 D_1} = D_1 - B_1 = (0-1, 1-0, 1-1) = (-1,1,0)$

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{AC} \cdot \vec{B_1 D_1} = (1)(-1) + (1)(1) + (0)(0) = -1 + 1 + 0 = 0$

Ответ: $0$

б)

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{B_1 C_1}$:

$\vec{AB} = B - A = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0)$
$\vec{B_1 C_1} = C_1 - B_1 = (1-1, 1-0, 1-1) = (0,1,0)$

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{AB} \cdot \vec{B_1 C_1} = (1)(0) + (0)(1) + (0)(0) = 0 + 0 + 0 = 0$

Ответ: $0$

в)

Найдем координаты векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$:

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$
$\vec{BC_1} = C_1 - B = (1-1, 1-0, 1-0) = (0,1,1)$

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = (1)(0) + (0)(1) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1$

Ответ: $1$

22.8. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 1 (рис. 22.5). Найдите скалярное произведение векторов:

а) $\overline{AB}$ и $\overline{CC_1}$;

б) $\overline{AB}$ и $\overline{B_1C_1}$.

Рис. 22.5

Дано

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра равны 1.

$AB = BC = CA = A_1B_1 = B_1C_1 = C_1A_1 = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Поскольку длина ребра задана как 1 без указания единиц, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

а) $\vec{AB} \cdot \vec{CC_1}$

б) $\vec{AB} \cdot \vec{B_1C_1}$

Решение

а) $\vec{AB}$ и $\vec{CC_1}$

1.Длины векторов:

Длина вектора $\vec{AB}$ равна длине ребра призмы, то есть $|\vec{AB}| = 1$.

Длина вектора $\vec{CC_1}$ также равна длине ребра призмы, то есть $|\vec{CC_1}| = 1$.

2.Угол между векторами:

Вектор $\vec{CC_1}$ представляет собой боковое ребро призмы. В правильной призме боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

Вектор $\vec{AB}$ лежит в плоскости основания $ABC$.

Следовательно, вектор $\vec{CC_1}$ перпендикулярен вектору $\vec{AB}$.

Угол $\theta$ между этими векторами равен $90^\circ$.

Косинус угла: $\cos(90^\circ) = 0$.

3.Скалярное произведение:

Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними:

$\vec{AB} \cdot \vec{CC_1} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{CC_1}| \cdot \cos(\theta)$

$\vec{AB} \cdot \vec{CC_1} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(90^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$

б) $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$

1.Длины векторов:

Длина вектора $\vec{AB}$ равна длине ребра призмы, то есть $|\vec{AB}| = 1$.

Длина вектора $\vec{B_1C_1}$ также равна длине ребра призмы, то есть $|\vec{B_1C_1}| = 1$.

2.Угол между векторами:

Вектор $\vec{B_1C_1}$ лежит в верхнем основании $A_1B_1C_1$. Так как основания призмы параллельны, вектор $\vec{B_1C_1}$ параллелен вектору $\vec{BC}$.

Таким образом, угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$ равен углу между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$.

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ (основание призмы). Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$.

Вектор $\vec{AB}$ направлен от $A$ к $B$. Вектор $\vec{BC}$ направлен от $B$ к $C$. Чтобы найти угол между ними, приведем их к общему началу.

Угол между вектором $\vec{BA}$ (который противоположен $\vec{AB}$) и вектором $\vec{BC}$ равен углу $\angle ABC = 60^\circ$.

Поскольку вектор $\vec{AB}$ имеет противоположное направление по отношению к $\vec{BA}$, то угол между $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Косинус угла: $\cos(120^\circ) = -1/2$.

3.Скалярное произведение:

$\vec{AB} \cdot \vec{B_1C_1} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{B_1C_1}| \cdot \cos(\theta)$

$\vec{AB} \cdot \vec{B_1C_1} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot (-1/2) = -1/2$.

Ответ: $-1/2$

22.9. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1 (рис. 22.6). Найдите скалярное произведение векторов:

а) $ \overline{AB} $ и $ \overline{SC} $;

б) $ \overline{SB} $ и $ \overline{SD} $.

Рис. 22.6

Дано:

Пирамида $SABCD$ является правильной четырехугольной.

Длина всех ребер пирамиды (как боковых, так и ребер основания) равна $1$.

Найти:

Скалярные произведения векторов:

а) $\vec{AB}$ и $\vec{SC}$

б) $\vec{SB}$ и $\vec{SD}$

Решение:

Для вычисления скалярных произведений векторов используем координатный метод. Поместим центр основания пирамиды $O$ в начало координат $(0,0,0)$.

Основание $ABCD$ является квадратом со стороной $a=1$.

Длина диагонали основания $BD = AC$. В квадрате со стороной $a$, длина диагонали равна $a\sqrt{2}$. Таким образом, $BD = AC = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Расстояние от центра основания до любой вершины основания (например, $OC$) равно половине диагонали: $OC = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Высота пирамиды $SO$ (где $S$ - вершина пирамиды) находится из прямоугольного треугольника $SOC$. Сторона $SC$ является боковым ребром и по условию ее длина равна $1$.

Применяем теорему Пифагора к треугольнику $SOC$:

$SO^2 + OC^2 = SC^2$

$SO^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1^2$

$SO^2 + \frac{2}{4} = 1$

$SO^2 + \frac{1}{2} = 1$

$SO^2 = 1 - \frac{1}{2}$

$SO^2 = \frac{1}{2}$

$SO = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь определим координаты вершин пирамиды. Пусть оси $x$ и $y$ параллельны сторонам квадрата $ABCD$.

$A = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$

$B = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$

$C = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$

$D = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$

$S = \left(0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

а) $\vec{AB}$ и $\vec{SC}$

Сначала вычислим координаты векторов:

$\vec{AB} = B - A = \left(\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right), -\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right), 0 - 0\right) = (1, 0, 0)$.

$\vec{SC} = C - S = \left(\frac{1}{2} - 0, \frac{1}{2} - 0, 0 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$ определяется как $x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$.

$\vec{AB} \cdot \vec{SC} = (1)\left(\frac{1}{2}\right) + (0)\left(\frac{1}{2}\right) + (0)\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$\vec{AB} \cdot \vec{SC} = \frac{1}{2} + 0 + 0 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $1/2$

б) $\vec{SB}$ и $\vec{SD}$

Вычислим координаты векторов:

$\vec{SB} = B - S = \left(\frac{1}{2} - 0, -\frac{1}{2} - 0, 0 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

$\vec{SD} = D - S = \left(-\frac{1}{2} - 0, \frac{1}{2} - 0, 0 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{SB} \cdot \vec{SD} = \left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$\vec{SB} \cdot \vec{SD} = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{2}{4}$

$\vec{SB} \cdot \vec{SD} = -\frac{2}{4} + \frac{2}{4}$

$\vec{SB} \cdot \vec{SD} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$.

Ответ: $0$

22.10. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. 22.7). Найдите скалярное произведение векторов:

а) $\vec{SA}$ и $\vec{SD}$;

б) $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$.

Рис. 22.7

Дано:
Пирамида $SABCDEF$ - правильная шестиугольная.
Длина стороны основания $a = AB = 1$.
Длина бокового ребра $l = SA = 2$.

Найти:
a) скалярное произведение векторов $\vec{SA}$ и $\vec{SD}$.
б) скалярное произведение векторов $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$.

Решение:
Скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется как $ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\theta) $, где $ \theta $ — угол между векторами.

a) $ \vec{SA} $ и $ \vec{SD} $
Длины векторов: $ |\vec{SA}| = l = 2 $ и $ |\vec{SD}| = l = 2 $.
Угол $ \theta_a $ между векторами $ \vec{SA} $ и $ \vec{SD} $ — это угол $ \angle ASD $.
Рассмотрим треугольник $ ASD $. Его стороны: $ SA = 2 $, $ SD = 2 $.
Основание пирамиды — правильный шестиугольник $ ABCDEF $ со стороной $ a = 1 $.
В правильном шестиугольнике длина главной диагонали (например, $ AD $) равна удвоенной длине стороны шестиугольника. Следовательно, $ AD = 2a = 2 \times 1 = 2 $.
Таким образом, треугольник $ ASD $ является равносторонним, так как $ SA = SD = AD = 2 $.
Угол в равностороннем треугольнике равен $ 60^\circ $. Поэтому $ \angle ASD = 60^\circ $.
$ \vec{SA} \cdot \vec{SD} = |\vec{SA}| |\vec{SD}| \cos(\angle ASD) = 2 \times 2 \times \cos(60^\circ) = 4 \times \frac{1}{2} = 2 $.

Ответ: $ 2 $

б) $ \vec{SA} $ и $ \vec{BC} $
Длины векторов: $ |\vec{SA}| = l = 2 $ и $ |\vec{BC}| = a = 1 $.
Для вычисления скалярного произведения векторов $ \vec{SA} $ и $ \vec{BC} $ воспользуемся декомпозицией вектора $ \vec{SA} $.
Пусть $ O $ — центр основания шестиугольной пирамиды. Тогда $ S $ проецируется в $ O $.
Вектор $ \vec{SA} $ можно представить как сумму векторов $ \vec{SO} $ и $ \vec{OA} $: $ \vec{SA} = \vec{SO} + \vec{OA} $.
Тогда $ \vec{SA} \cdot \vec{BC} = (\vec{SO} + \vec{OA}) \cdot \vec{BC} = \vec{SO} \cdot \vec{BC} + \vec{OA} \cdot \vec{BC} $.
Вектор $ \vec{SO} $ перпендикулярен плоскости основания, а вектор $ \vec{BC} $ лежит в плоскости основания. Следовательно, $ \vec{SO} \perp \vec{BC} $.
Это означает, что $ \vec{SO} \cdot \vec{BC} = 0 $.
Таким образом, $ \vec{SA} \cdot \vec{BC} = \vec{OA} \cdot \vec{BC} $.
Теперь нам нужно найти скалярное произведение $ \vec{OA} \cdot \vec{BC} $.
В правильном шестиугольнике $ ABCDEF $ с центром $ O $, длины отрезков от центра до вершин равны длине стороны шестиугольника: $ OA = OB = OC = OD = OE = OF = a = 1 $.
Вектор $ \vec{BC} $ можно выразить как разность радиус-векторов вершин $ C $ и $ B $: $ \vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} $.
$ \vec{OA} \cdot \vec{BC} = \vec{OA} \cdot (\vec{OC} - \vec{OB}) = \vec{OA} \cdot \vec{OC} - \vec{OA} \cdot \vec{OB} $.
Угол между векторами $ \vec{OA} $ и $ \vec{OB} $ ( $ \angle AOB $) равен $ 60^\circ $, так как $ \triangle AOB $ — равносторонний.
$ \vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}| |\vec{OB}| \cos(60^\circ) = 1 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $.
Угол между векторами $ \vec{OA} $ и $ \vec{OC} $ ( $ \angle AOC $) равен $ 120^\circ $, так как $ \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ $.
$ \vec{OA} \cdot \vec{OC} = |\vec{OA}| |\vec{OC}| \cos(120^\circ) = 1 \times 1 \times (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} $.
Подставляем эти значения:
$ \vec{OA} \cdot \vec{BC} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1 $.
Следовательно, $ \vec{SA} \cdot \vec{BC} = -1 $.

Ответ: $ -1 $

22.11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 22.8). Найдите скалярное произведение векторов:

а) $\vec{AA_1}$ и $\vec{BC_1}$;

б) $\vec{AA_1}$ и $\vec{DE_1}$;

в) $\vec{AB}$ и $\vec{BC_1}$;

г) $\vec{AB}$ и $\vec{C_1D_1}$;

д) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1C_1}$;

е) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1D_1}$;

ж) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1E_1}$.

Дано:
Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все ребра призмы равны $1$.

Найти:
Скалярное произведение следующих пар векторов:
a) $\vec{AA_1}$ и $\vec{BC_1}$
б) $\vec{AA_1}$ и $\vec{DE_1}$
в) $\vec{AB}$ и $\vec{BC_1}$
г) $\vec{AB}$ и $\vec{C_1D_1}$
д) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1C_1}$
е) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1D_1}$
ж) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1E_1}$

Решение

В правильной шестиугольной призме все боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Длина любого ребра (как ребра основания, так и бокового ребра) равна $1$. Угол между смежными сторонами правильного шестиугольника равен $120^\circ$, а угол между векторами, соответствующими этим сторонам, если они выходят из одной вершины, равен $60^\circ$. Длина короткой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. Длина большой диагонали равна $2a$.

a) $\vec{AA_1}$ и $\vec{BC_1}$
Вектор $\vec{AA_1}$ является вектором бокового ребра, он перпендикулярен плоскости основания, а следовательно, и любому вектору, лежащему в этой плоскости, в том числе вектору $\vec{BC}$.
Вектор $\vec{BC_1}$ можно представить как сумму векторов: $\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$.
Тогда скалярное произведение:
$\vec{AA_1} \cdot \vec{BC_1} = \vec{AA_1} \cdot (\vec{BC} + \vec{CC_1}) = \vec{AA_1} \cdot \vec{BC} + \vec{AA_1} \cdot \vec{CC_1}$
Поскольку $\vec{AA_1} \perp \vec{BC}$, их скалярное произведение равно $0$.
Векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{CC_1}$ параллельны и сонаправлены (оба являются боковыми ребрами призмы и направлены в одну сторону). Их длины равны $1$.
Следовательно, $\vec{AA_1} \cdot \vec{CC_1} = |\vec{AA_1}| |\vec{CC_1}| \cos(0^\circ) = (1)(1)(1) = 1$.
Таким образом, $\vec{AA_1} \cdot \vec{BC_1} = 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1

б) $\vec{AA_1}$ и $\vec{DE_1}$
Аналогично пункту a), вектор $\vec{AA_1}$ перпендикулярен плоскости основания, а значит, и вектору $\vec{DE}$, лежащему в ней.
Вектор $\vec{DE_1}$ можно представить как сумму векторов: $\vec{DE_1} = \vec{DE} + \vec{EE_1}$.
Тогда скалярное произведение:
$\vec{AA_1} \cdot \vec{DE_1} = \vec{AA_1} \cdot (\vec{DE} + \vec{EE_1}) = \vec{AA_1} \cdot \vec{DE} + \vec{AA_1} \cdot \vec{EE_1}$
Поскольку $\vec{AA_1} \perp \vec{DE}$, их скалярное произведение равно $0$.
Векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{EE_1}$ параллельны и сонаправлены. Их длины равны $1$.
$\vec{AA_1} \cdot \vec{EE_1} = |\vec{AA_1}| |\vec{EE_1}| \cos(0^\circ) = (1)(1)(1) = 1$.
Таким образом, $\vec{AA_1} \cdot \vec{DE_1} = 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1

в) $\vec{AB}$ и $\vec{BC_1}$
Вектор $\vec{BC_1}$ можно представить как сумму векторов: $\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$.
Тогда скалярное произведение:
$\vec{AB} \cdot \vec{BC_1} = \vec{AB} \cdot (\vec{BC} + \vec{CC_1}) = \vec{AB} \cdot \vec{BC} + \vec{AB} \cdot \vec{CC_1}$
Вектор $\vec{AB}$ лежит в плоскости основания, а вектор $\vec{CC_1}$ перпендикулярен этой плоскости. Значит, $\vec{AB} \perp \vec{CC_1}$, и их скалярное произведение равно $0$.
Рассмотрим $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$. Длины векторов $|\vec{AB}| = 1$ и $|\vec{BC}| = 1$.
Внутренний угол правильного шестиугольника $\angle ABC = 120^\circ$. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, когда они начинаются в одной точке (например, $\vec{AB}$ и вектор, параллельный $\vec{BC}$ и исходящий из $B$ в направлении $C$), равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| |\vec{BC}| \cos(60^\circ) = (1)(1)(1/2) = 0.5$.
Таким образом, $\vec{AB} \cdot \vec{BC_1} = 0.5 + 0 = 0.5$.

Ответ: 0.5

г) $\vec{AB}$ и $\vec{C_1D_1}$
Вектор $\vec{C_1D_1}$ параллелен вектору $\vec{CD}$ и имеет ту же длину $1$.
Следовательно, $\vec{AB} \cdot \vec{C_1D_1} = \vec{AB} \cdot \vec{CD}$.
Длины $|\vec{AB}| = 1$ и $|\vec{CD}| = 1$.
В правильном шестиугольнике угол между векторами, соответствующими сторонам $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ (если их начала совпадают), составляет $120^\circ$.
$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = |\vec{AB}| |\vec{CD}| \cos(120^\circ) = (1)(1)(-1/2) = -0.5$.

Ответ: -0.5

д) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1C_1}$
Длина вектора $\vec{AC}$ (короткая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a=1$) равна $a\sqrt{3} = 1\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Длина вектора $\vec{B_1C_1}$ (сторона верхнего основания) равна $1$.
Вектор $\vec{B_1C_1}$ параллелен вектору $\vec{BC}$ и сонаправлен с ним.
Следовательно, $\vec{AC} \cdot \vec{B_1C_1} = \vec{AC} \cdot \vec{BC}$.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Это равнобедренный треугольник со сторонами $AB=BC=1$ и углом $\angle ABC = 120^\circ$.
Углы при основании $AC$ равны $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 120^\circ)/2 = 30^\circ$.
Угол между вектором $\vec{AC}$ (из $A$ в $C$) и вектором $\vec{BC}$ (из $B$ в $C$) при совмещении их начал (например, если начало $\vec{BC}$ перенести в $A$) равен $30^\circ$ (это угол $\angle BCA$).
$\vec{AC} \cdot \vec{BC} = |\vec{AC}| |\vec{BC}| \cos(30^\circ) = (\sqrt{3})(1)(\sqrt{3}/2) = 3/2 = 1.5$.

Ответ: 1.5

е) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1D_1}$
Длина вектора $\vec{AC}$ (короткая диагональ) равна $\sqrt{3}$.
Длина вектора $\vec{B_1D_1}$ (большая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a=1$) равна $2a = 2 \times 1 = 2$.
Вектор $\vec{B_1D_1}$ параллелен вектору $\vec{BD}$ и сонаправлен с ним.
Следовательно, $\vec{AC} \cdot \vec{B_1D_1} = \vec{AC} \cdot \vec{BD}$.
Разложим векторы: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$ и $\vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD}$.
$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (\vec{AB} + \vec{BC}) \cdot (\vec{BC} + \vec{CD}) = \vec{AB} \cdot \vec{BC} + \vec{AB} \cdot \vec{CD} + \vec{BC} \cdot \vec{BC} + \vec{BC} \cdot \vec{CD}$
Используем уже вычисленные скалярные произведения и свойства векторов:
$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0.5$ (из пункта в)
$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = -0.5$ (из пункта г)
$\vec{BC} \cdot \vec{BC} = |\vec{BC}|^2 = 1^2 = 1$
$\vec{BC} \cdot \vec{CD} = |\vec{BC}| |\vec{CD}| \cos(60^\circ) = (1)(1)(1/2) = 0.5$ (угол между $\vec{BC}$ и $\vec{CD}$ равен $60^\circ$)
Суммируем все слагаемые: $0.5 + (-0.5) + 1 + 0.5 = 1.5$.

Ответ: 1.5

ж) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1E_1}$
Длина вектора $\vec{AC}$ (короткая диагональ) равна $\sqrt{3}$.
Длина вектора $\vec{B_1E_1}$ (большая диагональ) равна $2$.
Вектор $\vec{B_1E_1}$ параллелен вектору $\vec{BE}$ и сонаправлен с ним.
Следовательно, $\vec{AC} \cdot \vec{B_1E_1} = \vec{AC} \cdot \vec{BE}$.
В правильном шестиугольнике большая диагональ $BE$ проходит через центр шестиугольника. Короткая диагональ $AC$ перпендикулярна большой диагонали $FD$. Поскольку $FD$ параллельна $BE$, то и $AC$ перпендикулярна $BE$.
Угол между перпендикулярными векторами равен $90^\circ$.
$\vec{AC} \cdot \vec{BE} = |\vec{AC}| |\vec{BE}| \cos(90^\circ) = (\sqrt{3})(2)(0) = 0$.

Ответ: 0

22.12. Точки M, N, K — середины ребер соответственно AB, AD, CD правильного тетраэдра с ребром 1 (рис. 22.9). Найдите скалярные произведения:

а) $\vec{AC} \cdot \vec{AB}$;

б) $\vec{AD} \cdot \vec{DB}$;

в) $\vec{KN} \cdot \vec{AC}$;

г) $\vec{MN} \cdot \vec{BC}$;

д) $\vec{NK} \cdot \vec{BA}$;

е) $\vec{KM} \cdot \vec{DC}$.

Рис. 22.9

Дано:

Правильный тетраэдр $ABCD$.

Длина ребра $a = 1$.

Точка $M$ – середина ребра $AB$.

Точка $N$ – середина ребра $AD$.

Точка $K$ – середина ребра $CD$.

Найти:

а) $\vec{AC} \cdot \vec{AB}$

б) $\vec{AD} \cdot \vec{DB}$

в) $\vec{KN} \cdot \vec{AC}$

г) $\vec{MN} \cdot \vec{BC}$

д) $\vec{NK} \cdot \vec{BA}$

е) $\vec{KM} \cdot \vec{DC}$

Решение:

Пусть $a = 1$ — длина ребра правильного тетраэдра. В правильном тетраэдре все грани являются равносторонними треугольниками, и углы между любыми двумя ребрами, выходящими из одной вершины, равны $60^\circ$.

а) $\vec{AC} \cdot \vec{AB}$

Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ исходят из вершины $A$. Треугольник $ABC$ является равносторонним, поэтому угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ равен $60^\circ$.

$|\vec{AC}| = a = 1$ и $|\vec{AB}| = a = 1$.

Используем формулу скалярного произведения: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta$.

$\vec{AC} \cdot \vec{AB} = |\vec{AC}| |\vec{AB}| \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) $\vec{AD} \cdot \vec{DB}$

Выразим вектор $\vec{DB}$ через векторы, исходящие из одной точки, например $A$:$\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD}$.

Тогда скалярное произведение:$\vec{AD} \cdot \vec{DB} = \vec{AD} \cdot (\vec{AB} - \vec{AD}) = \vec{AD} \cdot \vec{AB} - \vec{AD} \cdot \vec{AD}$.

Вычислим каждое слагаемое:

$\vec{AD} \cdot \vec{AB}$: Векторы $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$ исходят из вершины $A$, угол между ними $60^\circ$.$|\vec{AD}| = a = 1$, $|\vec{AB}| = a = 1$.$\vec{AD} \cdot \vec{AB} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

$\vec{AD} \cdot \vec{AD} = |\vec{AD}|^2 = a^2 = 1^2 = 1$.

Подставляем значения:$\vec{AD} \cdot \vec{DB} = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

в) $\vec{KN} \cdot \vec{AC}$

Точки $N$ и $K$ являются серединами ребер $AD$ и $CD$ соответственно. Следовательно, отрезок $NK$ является средней линией треугольника $ADC$.

Из свойств средней линии: $\vec{NK} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.

Тогда $\vec{KN} = -\vec{NK} = -\frac{1}{2}\vec{AC}$.

Теперь вычислим скалярное произведение:$\vec{KN} \cdot \vec{AC} = (-\frac{1}{2}\vec{AC}) \cdot \vec{AC} = -\frac{1}{2}|\vec{AC}|^2$.

Так как $|\vec{AC}| = a = 1$:$\vec{KN} \cdot \vec{AC} = -\frac{1}{2} \cdot 1^2 = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

г) $\vec{MN} \cdot \vec{BC}$

Используем начало координат в точке $A$. Тогда $\vec{A} = \vec{0}$.

$M$ – середина $AB$, поэтому $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$.$N$ – середина $AD$, поэтому $\vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{AD}$.

Вектор $\vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{AB})$.

Вектор $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.

Скалярное произведение:$\vec{MN} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{AB}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AB})$.

Раскроем скобки:$\frac{1}{2} (\vec{AD} \cdot \vec{AC} - \vec{AD} \cdot \vec{AB} - \vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{AB} \cdot \vec{AB})$.

Вычислим каждое скалярное произведение, зная, что все длины ребер равны 1 и углы между смежными ребрами $60^\circ$:

1. $\vec{AD} \cdot \vec{AC} = |\vec{AD}| |\vec{AC}| \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

2. $\vec{AD} \cdot \vec{AB} = |\vec{AD}| |\vec{AB}| \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

3. $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| |\vec{AC}| \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

4. $\vec{AB} \cdot \vec{AB} = |\vec{AB}|^2 = 1^2 = 1$.

Подставляем значения в выражение для скалярного произведения:$\vec{MN} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1) = \frac{1}{2} (0 + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

д) $\vec{NK} \cdot \vec{BA}$

Из пункта в) мы знаем, что $\vec{NK} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.

Вектор $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

Тогда скалярное произведение:$\vec{NK} \cdot \vec{BA} = (\frac{1}{2}\vec{AC}) \cdot (-\vec{AB}) = -\frac{1}{2}(\vec{AC} \cdot \vec{AB})$.

Из пункта а), $\vec{AC} \cdot \vec{AB} = \frac{1}{2}$.

Следовательно:$\vec{NK} \cdot \vec{BA} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$

е) $\vec{KM} \cdot \vec{DC}$

Используем начало координат в точке $A$.

$M$ – середина $AB$, поэтому $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$.

$K$ – середина $CD$. Вектор положения точки $K$ относительно $A$: $\vec{AK} = \vec{AC} + \vec{CK} = \vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{CD}$.Можно также $\vec{AK} = \vec{AD} + \vec{DK} = \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{DC}$.Лучше использовать: $\vec{K} = \frac{1}{2}(\vec{C} + \vec{D})$ (где $\vec{C}=\vec{AC}, \vec{D}=\vec{AD}$ - радиус-векторы точек $C, D$ относительно $A$).

Тогда $\vec{KM} = \vec{AM} - \vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{AD}) = \frac{1}{2}(\vec{AB} - \vec{AC} - \vec{AD})$.

Вектор $\vec{DC} = \vec{AC} - \vec{AD}$.

Скалярное произведение:$\vec{KM} \cdot \vec{DC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} - \vec{AC} - \vec{AD}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AD})$.

Раскроем скобки:$\frac{1}{2} (\vec{AB} \cdot \vec{AC} - \vec{AB} \cdot \vec{AD} - \vec{AC} \cdot \vec{AC} + \vec{AC} \cdot \vec{AD} - \vec{AD} \cdot \vec{AC} + \vec{AD} \cdot \vec{AD})$.

Заметим, что $\vec{AC} \cdot \vec{AD} - \vec{AD} \cdot \vec{AC} = 0$.

Остается:$\frac{1}{2} (\vec{AB} \cdot \vec{AC} - \vec{AB} \cdot \vec{AD} - |\vec{AC}|^2 + |\vec{AD}|^2)$.

Вычислим каждое скалярное произведение:

1. $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| |\vec{AC}| \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

2. $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| |\vec{AD}| \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

3. $|\vec{AC}|^2 = 1^2 = 1$.

4. $|\vec{AD}|^2 = 1^2 = 1$.

Подставляем значения:$\vec{KM} \cdot \vec{DC} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 1 + 1) = \frac{1}{2} (0) = 0$.

Геометрически, отрезок $KM$ соединяет середины двух противоположных ребер ($AB$ и $CD$) правильного тетраэдра. В правильном тетраэдре бимедиана (отрезок, соединяющий середины противоположных ребер) перпендикулярна обоим этим ребрам. Таким образом, $\vec{KM}$ перпендикулярен $\vec{DC}$, и их скалярное произведение равно нулю.

Ответ: $0$

22.13. Из точки $C$, не принадлежащей плоскости $\alpha$, опущен перпендикуляр $CA$ на эту плоскость. Докажите, что для произвольной точки $B$ в плоскости $\alpha$ скалярное произведение $\vec{CA} \cdot \vec{CB}$ не зависит от положения точки $B$.

D.

Решение

Пусть $C$ - точка, не принадлежащая плоскости $\alpha$. Пусть $A$ - основание перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на плоскость $\alpha$. Это означает, что отрезок $CA$ перпендикулярен плоскости $\alpha$. Следовательно, вектор $\vec{CA}$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$.

Пусть $B$ - произвольная точка в плоскости $\alpha$. Рассмотрим вектор $\vec{CB}$. Его можно представить как сумму векторов $\vec{CA}$ и $\vec{AB}$ (правило треугольника): $\vec{CB} = \vec{CA} + \vec{AB}$

Теперь вычислим скалярное произведение $\vec{CA} \cdot \vec{CB}$: $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = \vec{CA} \cdot (\vec{CA} + \vec{AB})$

Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения, получаем: $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = \vec{CA} \cdot \vec{CA} + \vec{CA} \cdot \vec{AB}$

Рассмотрим каждое слагаемое:
1. $\vec{CA} \cdot \vec{CA}$: Это скалярный квадрат вектора $\vec{CA}$, который равен квадрату его длины: $\vec{CA} \cdot \vec{CA} = |\vec{CA}|^2$. Поскольку точки $C$ и $A$ фиксированы (точка $A$ является проекцией $C$ на плоскость $\alpha$), длина $|\vec{CA}|$ является постоянной величиной, равной расстоянию от точки $C$ до плоскости $\alpha$. Значит, $|\vec{CA}|^2$ также является постоянной.

2. $\vec{CA} \cdot \vec{AB}$: Вектор $\vec{CA}$ перпендикулярен плоскости $\alpha$. Вектор $\vec{AB}$ лежит в плоскости $\alpha$, так как обе точки $A$ и $B$ принадлежат этой плоскости. Из определения перпендикулярности прямой и плоскости следует, что прямая $CA$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $\alpha$, проходящей через $A$. В частности, она перпендикулярна прямой $AB$. Следовательно, векторы $\vec{CA}$ и $\vec{AB}$ взаимно перпендикулярны. Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю: $\vec{CA} \cdot \vec{AB} = 0$.

Подставляя полученные значения обратно в выражение для скалярного произведения: $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = |\vec{CA}|^2 + 0$ $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = |\vec{CA}|^2$

Поскольку $|\vec{CA}|^2$ - это постоянная величина, которая не зависит от положения точки $B$, мы доказали, что скалярное произведение $\vec{CA} \cdot \vec{CB}$ не зависит от положения точки $B$ в плоскости $\alpha$.

Ответ: Доказано.

22.14. Вычислите работу, которую производит сила $\vec{F}$, перемещая объект из вершины A в вершину D единичного куба (рис. 22.10).

Рис. 22.10

Дано

Единичный куб, что означает длина ребра $a = 1$.

Сила $\vec{F}$ направлена вдоль диагонали $D_1 B$.

Перемещение $\vec{s}$ объекта из вершины $A$ в вершину $D$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1 \, \text{м}$.

Найти:

Работу $W$.

Решение

Работа, совершаемая постоянной силой, определяется как скалярное произведение вектора силы $\vec{F}$ и вектора перемещения $\vec{s}$:

$W = \vec{F} \cdot \vec{s}$

Для удобства введем декартову систему координат с началом в вершине $A(0,0,0)$. Так как куб единичный, его ребра имеют длину 1. Оси координат совпадают с ребрами, выходящими из вершины $A$.

Координаты вершин куба:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$
• $C = (1,1,0)$
• $D = (0,1,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $B_1 = (1,0,1)$
• $C_1 = (1,1,1)$
• $D_1 = (0,1,1)$

Вектор перемещения $\vec{s}$ направлен из вершины $A$ в вершину $D$. Вычислим его компоненты:

$\vec{s} = \vec{AD} = D - A = (0 - 0, 1 - 0, 0 - 0) = (0,1,0)$

Вектор силы $\vec{F}$ направлен вдоль диагонали $D_1 B$. Следовательно, компоненты вектора силы $\vec{F}$ совпадают с компонентами вектора $\vec{D_1 B}$:

$\vec{F} = \vec{D_1 B} = B - D_1 = (1 - 0, 0 - 1, 0 - 1) = (1,-1,-1)$

Теперь вычислим работу $W$ как скалярное произведение векторов $\vec{F}$ и $\vec{s}$:

$W = \vec{F} \cdot \vec{s} = (1)(0) + (-1)(1) + (-1)(0)$

$W = 0 - 1 + 0$

$W = -1$

Ответ:

Работа, которую производит сила $\vec{F}$, составляет $W = -1$ (единица работы).

22.15. Найдите величину равнодействующей трех сил, по 10 Н каждая, если силы приложены к одной точке и углы между направлениями сил равны 60°, 60°, 90°.

Дано:

Три силы: $F_1$, $F_2$, $F_3$.

Модуль каждой силы: $|F_1| = |F_2| = |F_3| = F = 10 \text{ Н}$.

Углы между направлениями сил (попарно): $\alpha_1 = 60^\circ$, $\alpha_2 = 60^\circ$, $\alpha_3 = 90^\circ$.

Перевод в СИ:

Все величины уже приведены в системе СИ.

Найти:

Величина равнодействующей силы $R$.

Решение:

Для нахождения величины равнодействующей трех сил, приложенных к одной точке, мы используем формулу для квадрата модуля суммы векторов. Если $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3}$, то квадрат ее величины $R^2$ может быть найден как скалярное произведение вектора на себя:

$R^2 = (\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3}) \cdot (\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3})$

Раскрывая это выражение, получаем:

$R^2 = |\vec{F_1}|^2 + |\vec{F_2}|^2 + |\vec{F_3}|^2 + 2(\vec{F_1} \cdot \vec{F_2} + \vec{F_2} \cdot \vec{F_3} + \vec{F_3} \cdot \vec{F_1})$

Скалярное произведение двух векторов $\vec{A} \cdot \vec{B}$ равно произведению их модулей на косинус угла между ними: $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \alpha_{AB}$.

Поскольку все силы имеют одинаковую величину $F=10 \text{ Н}$, формула упрощается:

$R^2 = F^2 + F^2 + F^2 + 2(F \cdot F \cos \alpha_{12} + F \cdot F \cos \alpha_{23} + F \cdot F \cos \alpha_{31})$

$R^2 = 3F^2 + 2F^2 (\cos \alpha_{12} + \cos \alpha_{23} + \cos \alpha_{31})$

По условию, углы между направлениями сил равны $60^\circ, 60^\circ, 90^\circ$. Мы подставим эти значения в косинусы:

$\cos 60^\circ = 0.5$

$\cos 90^\circ = 0$

Сумма косинусов будет:

$\cos \alpha_{12} + \cos \alpha_{23} + \cos \alpha_{31} = 0.5 + 0.5 + 0 = 1$

Теперь подставим величину силы $F=10 \text{ Н}$ и сумму косинусов в формулу для $R^2$:

$R^2 = 3 \cdot (10 \text{ Н})^2 + 2 \cdot (10 \text{ Н})^2 \cdot (1)$

$R^2 = 3 \cdot 100 \text{ Н}^2 + 2 \cdot 100 \text{ Н}^2$

$R^2 = 300 \text{ Н}^2 + 200 \text{ Н}^2$

$R^2 = 500 \text{ Н}^2$

Извлекаем квадратный корень для нахождения величины равнодействующей силы $R$:

$R = \sqrt{500 \text{ Н}^2}$

$R = \sqrt{100 \cdot 5} \text{ Н}$

$R = 10\sqrt{5} \text{ Н}$

Ответ:

Величина равнодействующей силы $R = 10\sqrt{5} \text{ Н}$.