Номер 22.15, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

22.15. Найдите величину равнодействующей трех сил, по 10 Н каждая, если силы приложены к одной точке и углы между направлениями сил равны 60°, 60°, 90°.

Дано:

Три силы: $F_1$, $F_2$, $F_3$.

Модуль каждой силы: $|F_1| = |F_2| = |F_3| = F = 10 \text{ Н}$.

Углы между направлениями сил (попарно): $\alpha_1 = 60^\circ$, $\alpha_2 = 60^\circ$, $\alpha_3 = 90^\circ$.

Перевод в СИ:

Все величины уже приведены в системе СИ.

Найти:

Величина равнодействующей силы $R$.

Решение:

Для нахождения величины равнодействующей трех сил, приложенных к одной точке, мы используем формулу для квадрата модуля суммы векторов. Если $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3}$, то квадрат ее величины $R^2$ может быть найден как скалярное произведение вектора на себя:

$R^2 = (\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3}) \cdot (\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3})$

Раскрывая это выражение, получаем:

$R^2 = |\vec{F_1}|^2 + |\vec{F_2}|^2 + |\vec{F_3}|^2 + 2(\vec{F_1} \cdot \vec{F_2} + \vec{F_2} \cdot \vec{F_3} + \vec{F_3} \cdot \vec{F_1})$

Скалярное произведение двух векторов $\vec{A} \cdot \vec{B}$ равно произведению их модулей на косинус угла между ними: $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \alpha_{AB}$.

Поскольку все силы имеют одинаковую величину $F=10 \text{ Н}$, формула упрощается:

$R^2 = F^2 + F^2 + F^2 + 2(F \cdot F \cos \alpha_{12} + F \cdot F \cos \alpha_{23} + F \cdot F \cos \alpha_{31})$

$R^2 = 3F^2 + 2F^2 (\cos \alpha_{12} + \cos \alpha_{23} + \cos \alpha_{31})$

По условию, углы между направлениями сил равны $60^\circ, 60^\circ, 90^\circ$. Мы подставим эти значения в косинусы:

$\cos 60^\circ = 0.5$

$\cos 90^\circ = 0$

Сумма косинусов будет:

$\cos \alpha_{12} + \cos \alpha_{23} + \cos \alpha_{31} = 0.5 + 0.5 + 0 = 1$

Теперь подставим величину силы $F=10 \text{ Н}$ и сумму косинусов в формулу для $R^2$:

$R^2 = 3 \cdot (10 \text{ Н})^2 + 2 \cdot (10 \text{ Н})^2 \cdot (1)$

$R^2 = 3 \cdot 100 \text{ Н}^2 + 2 \cdot 100 \text{ Н}^2$

$R^2 = 300 \text{ Н}^2 + 200 \text{ Н}^2$

$R^2 = 500 \text{ Н}^2$

Извлекаем квадратный корень для нахождения величины равнодействующей силы $R$:

$R = \sqrt{500 \text{ Н}^2}$

$R = \sqrt{100 \cdot 5} \text{ Н}$

$R = 10\sqrt{5} \text{ Н}$

Ответ:

Величина равнодействующей силы $R = 10\sqrt{5} \text{ Н}$.