Номер 22.12, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

22.12. Точки M, N, K — середины ребер соответственно AB, AD, CD правильного тетраэдра с ребром 1 (рис. 22.9). Найдите скалярные произведения:

а) $\vec{AC} \cdot \vec{AB}$;

б) $\vec{AD} \cdot \vec{DB}$;

в) $\vec{KN} \cdot \vec{AC}$;

г) $\vec{MN} \cdot \vec{BC}$;

д) $\vec{NK} \cdot \vec{BA}$;

е) $\vec{KM} \cdot \vec{DC}$.

Рис. 22.9

Дано:

Правильный тетраэдр $ABCD$.

Длина ребра $a = 1$.

Точка $M$ – середина ребра $AB$.

Точка $N$ – середина ребра $AD$.

Точка $K$ – середина ребра $CD$.

Найти:

а) $\vec{AC} \cdot \vec{AB}$

б) $\vec{AD} \cdot \vec{DB}$

в) $\vec{KN} \cdot \vec{AC}$

г) $\vec{MN} \cdot \vec{BC}$

д) $\vec{NK} \cdot \vec{BA}$

е) $\vec{KM} \cdot \vec{DC}$

Решение:

Пусть $a = 1$ — длина ребра правильного тетраэдра. В правильном тетраэдре все грани являются равносторонними треугольниками, и углы между любыми двумя ребрами, выходящими из одной вершины, равны $60^\circ$.

а) $\vec{AC} \cdot \vec{AB}$

Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ исходят из вершины $A$. Треугольник $ABC$ является равносторонним, поэтому угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ равен $60^\circ$.

$|\vec{AC}| = a = 1$ и $|\vec{AB}| = a = 1$.

Используем формулу скалярного произведения: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta$.

$\vec{AC} \cdot \vec{AB} = |\vec{AC}| |\vec{AB}| \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) $\vec{AD} \cdot \vec{DB}$

Выразим вектор $\vec{DB}$ через векторы, исходящие из одной точки, например $A$:$\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD}$.

Тогда скалярное произведение:$\vec{AD} \cdot \vec{DB} = \vec{AD} \cdot (\vec{AB} - \vec{AD}) = \vec{AD} \cdot \vec{AB} - \vec{AD} \cdot \vec{AD}$.

Вычислим каждое слагаемое:

$\vec{AD} \cdot \vec{AB}$: Векторы $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$ исходят из вершины $A$, угол между ними $60^\circ$.$|\vec{AD}| = a = 1$, $|\vec{AB}| = a = 1$.$\vec{AD} \cdot \vec{AB} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

$\vec{AD} \cdot \vec{AD} = |\vec{AD}|^2 = a^2 = 1^2 = 1$.

Подставляем значения:$\vec{AD} \cdot \vec{DB} = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

в) $\vec{KN} \cdot \vec{AC}$

Точки $N$ и $K$ являются серединами ребер $AD$ и $CD$ соответственно. Следовательно, отрезок $NK$ является средней линией треугольника $ADC$.

Из свойств средней линии: $\vec{NK} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.

Тогда $\vec{KN} = -\vec{NK} = -\frac{1}{2}\vec{AC}$.

Теперь вычислим скалярное произведение:$\vec{KN} \cdot \vec{AC} = (-\frac{1}{2}\vec{AC}) \cdot \vec{AC} = -\frac{1}{2}|\vec{AC}|^2$.

Так как $|\vec{AC}| = a = 1$:$\vec{KN} \cdot \vec{AC} = -\frac{1}{2} \cdot 1^2 = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

г) $\vec{MN} \cdot \vec{BC}$

Используем начало координат в точке $A$. Тогда $\vec{A} = \vec{0}$.

$M$ – середина $AB$, поэтому $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$.$N$ – середина $AD$, поэтому $\vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{AD}$.

Вектор $\vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{AB})$.

Вектор $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.

Скалярное произведение:$\vec{MN} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{AB}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AB})$.

Раскроем скобки:$\frac{1}{2} (\vec{AD} \cdot \vec{AC} - \vec{AD} \cdot \vec{AB} - \vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{AB} \cdot \vec{AB})$.

Вычислим каждое скалярное произведение, зная, что все длины ребер равны 1 и углы между смежными ребрами $60^\circ$:

1. $\vec{AD} \cdot \vec{AC} = |\vec{AD}| |\vec{AC}| \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

2. $\vec{AD} \cdot \vec{AB} = |\vec{AD}| |\vec{AB}| \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

3. $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| |\vec{AC}| \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

4. $\vec{AB} \cdot \vec{AB} = |\vec{AB}|^2 = 1^2 = 1$.

Подставляем значения в выражение для скалярного произведения:$\vec{MN} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1) = \frac{1}{2} (0 + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

д) $\vec{NK} \cdot \vec{BA}$

Из пункта в) мы знаем, что $\vec{NK} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.

Вектор $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

Тогда скалярное произведение:$\vec{NK} \cdot \vec{BA} = (\frac{1}{2}\vec{AC}) \cdot (-\vec{AB}) = -\frac{1}{2}(\vec{AC} \cdot \vec{AB})$.

Из пункта а), $\vec{AC} \cdot \vec{AB} = \frac{1}{2}$.

Следовательно:$\vec{NK} \cdot \vec{BA} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$

е) $\vec{KM} \cdot \vec{DC}$

Используем начало координат в точке $A$.

$M$ – середина $AB$, поэтому $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$.

$K$ – середина $CD$. Вектор положения точки $K$ относительно $A$: $\vec{AK} = \vec{AC} + \vec{CK} = \vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{CD}$.Можно также $\vec{AK} = \vec{AD} + \vec{DK} = \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{DC}$.Лучше использовать: $\vec{K} = \frac{1}{2}(\vec{C} + \vec{D})$ (где $\vec{C}=\vec{AC}, \vec{D}=\vec{AD}$ - радиус-векторы точек $C, D$ относительно $A$).

Тогда $\vec{KM} = \vec{AM} - \vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{AD}) = \frac{1}{2}(\vec{AB} - \vec{AC} - \vec{AD})$.

Вектор $\vec{DC} = \vec{AC} - \vec{AD}$.

Скалярное произведение:$\vec{KM} \cdot \vec{DC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} - \vec{AC} - \vec{AD}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AD})$.

Раскроем скобки:$\frac{1}{2} (\vec{AB} \cdot \vec{AC} - \vec{AB} \cdot \vec{AD} - \vec{AC} \cdot \vec{AC} + \vec{AC} \cdot \vec{AD} - \vec{AD} \cdot \vec{AC} + \vec{AD} \cdot \vec{AD})$.

Заметим, что $\vec{AC} \cdot \vec{AD} - \vec{AD} \cdot \vec{AC} = 0$.

Остается:$\frac{1}{2} (\vec{AB} \cdot \vec{AC} - \vec{AB} \cdot \vec{AD} - |\vec{AC}|^2 + |\vec{AD}|^2)$.

Вычислим каждое скалярное произведение:

1. $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| |\vec{AC}| \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

2. $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| |\vec{AD}| \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

3. $|\vec{AC}|^2 = 1^2 = 1$.

4. $|\vec{AD}|^2 = 1^2 = 1$.

Подставляем значения:$\vec{KM} \cdot \vec{DC} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 1 + 1) = \frac{1}{2} (0) = 0$.

Геометрически, отрезок $KM$ соединяет середины двух противоположных ребер ($AB$ и $CD$) правильного тетраэдра. В правильном тетраэдре бимедиана (отрезок, соединяющий середины противоположных ребер) перпендикулярна обоим этим ребрам. Таким образом, $\vec{KM}$ перпендикулярен $\vec{DC}$, и их скалярное произведение равно нулю.

Ответ: $0$