Номер 22.6, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

22.6. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 22.8). Найдите угол между векторами:

а) $\vec{AA_1}$ и $\vec{BC_1}$

б) $\vec{AA_1}$ и $\vec{DE_1}$

в) $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$

г) $\vec{AB}$ и $\vec{C_1D_1}$

д) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1C_1}$

е) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1D_1}$

ж) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1E_1}$

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Найдем угол между заданными парами векторов.

Пусть длина ребра призмы $a = 1$.

Для удобства вычислений расположим центр нижнего основания в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин будут:

$A = (1, 0, 0)$
$B = (0.5, \sqrt{3}/2, 0)$
$C = (-0.5, \sqrt{3}/2, 0)$
$D = (-1, 0, 0)$
$E = (-0.5, -\sqrt{3}/2, 0)$
$F = (0.5, -\sqrt{3}/2, 0)$

Вершины верхнего основания $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$ имеют те же x, y координаты, но z-координату 1 (так как высота призмы равна длине ребра, т.е. 1):

$A_1 = (1, 0, 1)$
$B_1 = (0.5, \sqrt{3}/2, 1)$
$C_1 = (-0.5, \sqrt{3}/2, 1)$
$D_1 = (-1, 0, 1)$
$E_1 = (-0.5, -\sqrt{3}/2, 1)$
$F_1 = (0.5, -\sqrt{3}/2, 1)$

Формула для нахождения угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$: $\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

а) $\vec{A A_1}$ и $\vec{B C_1}$

Дано:
Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной призмой.
Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Найти:
Угол между векторами $\vec{A A_1}$ и $\vec{B C_1}$.

Решение:
Вектор $\vec{A A_1}$ является вектором, направленным вдоль бокового ребра. Его координаты: $\vec{A A_1} = A_1 - A = (1-1, 0-0, 1-0) = (0, 0, 1)$. Его длина $|\vec{A A_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$.
Вектор $\vec{B C_1}$ соединяет вершину B нижнего основания с вершиной $C_1$ верхнего основания. Его координаты: $\vec{B C_1} = C_1 - B = (-0.5 - 0.5, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-1, 0, 1)$. Его длина $|\vec{B C_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{A A_1} \cdot \vec{B C_1} = (0)( -1) + (0)(0) + (1)(1) = 1$.
Найдем косинус угла $\theta$ между векторами: $\cos\theta = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, $\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

б) $\vec{A A_1}$ и $\vec{D E_1}$

Дано:
Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной призмой.
Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Найти:
Угол между векторами $\vec{A A_1}$ и $\vec{D E_1}$.

Решение:
Вектор $\vec{A A_1} = (0, 0, 1)$, $|\vec{A A_1}| = 1$.
Вектор $\vec{D E_1} = E_1 - D = (-0.5 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (0.5, -\sqrt{3}/2, 1)$. Его длина $|\vec{D E_1}| = \sqrt{(0.5)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{0.25 + 0.75 + 1} = \sqrt{2}$.
Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{A A_1} \cdot \vec{D E_1} = (0)(0.5) + (0)(-\sqrt{3}/2) + (1)(1) = 1$.
Найдем косинус угла $\theta$ между векторами: $\cos\theta = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, $\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

в) $\vec{A B}$ и $\vec{B C_1}$

Дано:
Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной призмой.
Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Найти:
Угол между векторами $\vec{A B}$ и $\vec{B C_1}$.

Решение:
Вектор $\vec{A B} = B - A = (0.5 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-0.5, \sqrt{3}/2, 0)$. Его длина $|\vec{A B}| = \sqrt{(-0.5)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{0.25 + 0.75} = 1$.
Вектор $\vec{B C_1} = (-1, 0, 1)$ (из пункта а), его длина $|\vec{B C_1}| = \sqrt{2}$.
Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{A B} \cdot \vec{B C_1} = (-0.5)(-1) + (\sqrt{3}/2)(0) + (0)(1) = 0.5$.
Найдем косинус угла $\theta$ между векторами: $\cos\theta = \frac{0.5}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{0.5}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.
Следовательно, $\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$

г) $\vec{A B}$ и $\vec{C_1 D_1}$

Дано:
Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной призмой.
Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Найти:
Угол между векторами $\vec{A B}$ и $\vec{C_1 D_1}$.

Решение:
Вектор $\vec{A B} = (-0.5, \sqrt{3}/2, 0)$, его длина $|\vec{A B}| = 1$.
Вектор $\vec{C_1 D_1} = D_1 - C_1 = (-1 - (-0.5), 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 1) = (-0.5, -\sqrt{3}/2, 0)$. Его длина $|\vec{C_1 D_1}| = \sqrt{(-0.5)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{0.25 + 0.75} = 1$.
Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{A B} \cdot \vec{C_1 D_1} = (-0.5)(-0.5) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}/2) + (0)(0) = 0.25 - 0.75 = -0.5$.
Найдем косинус угла $\theta$ между векторами: $\cos\theta = \frac{-0.5}{1 \cdot 1} = -0.5$.
Следовательно, $\theta = \arccos(-0.5) = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$

д) $\vec{A C}$ и $\vec{B C_1}$

Дано:
Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной призмой.
Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Найти:
Угол между векторами $\vec{A C}$ и $\vec{B C_1}$.

Решение:
Вектор $\vec{A C} = C - A = (-0.5 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-1.5, \sqrt{3}/2, 0)$. Его длина $|\vec{A C}| = \sqrt{(-1.5)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{2.25 + 0.75} = \sqrt{3}$.
Вектор $\vec{B C_1} = (-1, 0, 1)$ (из пункта а), его длина $|\vec{B C_1}| = \sqrt{2}$.
Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{A C} \cdot \vec{B C_1} = (-1.5)(-1) + (\sqrt{3}/2)(0) + (0)(1) = 1.5$.
Найдем косинус угла $\theta$ между векторами: $\cos\theta = \frac{1.5}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1.5}{\sqrt{6}} = \frac{3/2}{\sqrt{6}} = \frac{3}{2\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.
Следовательно, $\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)$

е) $\vec{A C}$ и $\vec{B_1 D_1}$

Дано:
Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной призмой.
Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Найти:
Угол между векторами $\vec{A C}$ и $\vec{B_1 D_1}$.

Решение:
Вектор $\vec{A C} = (-1.5, \sqrt{3}/2, 0)$, его длина $|\vec{A C}| = \sqrt{3}$.
Вектор $\vec{B_1 D_1} = D_1 - B_1 = (-1 - 0.5, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 1) = (-1.5, -\sqrt{3}/2, 0)$. Его длина $|\vec{B_1 D_1}| = \sqrt{(-1.5)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{2.25 + 0.75} = \sqrt{3}$.
Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{A C} \cdot \vec{B_1 D_1} = (-1.5)(-1.5) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}/2) + (0)(0) = 2.25 - 0.75 = 1.5$.
Найдем косинус угла $\theta$ между векторами: $\cos\theta = \frac{1.5}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1.5}{3} = 0.5$.
Следовательно, $\theta = \arccos(0.5) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

ж) $\vec{A C}$ и $\vec{B_1 E_1}$

Дано:
Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной призмой.
Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Найти:
Угол между векторами $\vec{A C}$ и $\vec{B_1 E_1}$.

Решение:
Вектор $\vec{A C} = (-1.5, \sqrt{3}/2, 0)$, его длина $|\vec{A C}| = \sqrt{3}$.
Вектор $\vec{B_1 E_1} = E_1 - B_1 = (-0.5 - 0.5, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 1) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$. Его длина $|\vec{B_1 E_1}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.
Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{A C} \cdot \vec{B_1 E_1} = (-1.5)(-1) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}) + (0)(0) = 1.5 - 3/2 = 1.5 - 1.5 = 0$.
Найдем косинус угла $\theta$ между векторами: $\cos\theta = \frac{0}{\sqrt{3} \cdot 2} = 0$.
Следовательно, $\theta = \arccos(0) = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$