Номер 22.3, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

22.3. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 22.5) найдите угол между векторами: а) $\vec{AB}$ и $\vec{CC_1}$; б) $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$.

Рис. 22.5

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Не требуется перевод в СИ.

Найти:

а) Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CC_1}$;

б) Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$.

Решение:

а) $\vec{AB}$ и $\vec{CC_1}$

В правильной треугольной призме основание $ABC$ является правильным (равносторонним) треугольником. Боковые рёбра, такие как $CC_1$, перпендикулярны плоскостям оснований.

Вектор $\vec{AB}$ лежит в плоскости основания $ABC$.

Вектор $\vec{CC_1}$ перпендикулярен плоскости основания $ABC$, а следовательно, перпендикулярен любой прямой (и любому вектору), лежащей в этой плоскости, в том числе и вектору $\vec{AB}$.

Таким образом, угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CC_1}$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

б) $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$

Поскольку $ABCA_1B_1C_1$ - правильная треугольная призма, её основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются параллельными плоскостями.

Вектор $\vec{B_1C_1}$ лежит в верхнем основании $A_1B_1C_1$. Мы можем перенести (параллельно) этот вектор в нижнее основание $ABC$. При параллельном переносе вектор не меняет своего направления и длины.

Вектор $\vec{B_1C_1}$ параллелен вектору $\vec{BC}$, так как $BCB_1C_1$ является одной из боковых граней призмы (прямоугольником, поскольку призма правильная). То есть $\vec{B_1C_1} = \vec{BC}$.

Таким образом, задача сводится к нахождению угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$.

Треугольник $ABC$ является равносторонним, так как он является основанием правильной треугольной призмы. Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$, то есть $\angle ABC = 60^\circ$.

Чтобы найти угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, необходимо привести их к общему началу. Пусть общим началом будет точка $B$. Тогда вектор $\vec{BC}$ уже имеет начало в $B$. Вектор $\vec{AB}$ можно представить как вектор, исходящий из $B$ в направлении, противоположном направлению $\vec{BA}$ (то есть, это $-\vec{BA}$). Угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ равен внутреннему углу равностороннего треугольника $\angle ABC$, который составляет $60^\circ$. Угол между векторами $\vec{AB}$ (направленным от $A$ к $B$) и $\vec{BC}$ (направленным от $B$ к $C$) равен развернутому углу (линия $AB$ продолжена за $B$) минус угол $\angle ABC$. То есть, $180^\circ - \angle ABC$.

Угол между $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Это также можно подтвердить, используя скалярное произведение. Пусть длина стороны основания равна $a$. Тогда $|\vec{AB}| = a$ и $|\vec{BC}| = a$.

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| |\vec{BC}| \cos \theta$

Если мы расположим $A=(0,0)$, $B=(a,0)$ и $C=(a/2, a\sqrt{3}/2)$ в плоскости $Oxy$, то:

$\vec{AB} = (a,0)$

$\vec{BC} = C - B = (a/2 - a, a\sqrt{3}/2 - 0) = (-a/2, a\sqrt{3}/2)$

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = a \cdot (-a/2) + 0 \cdot (a\sqrt{3}/2) = -a^2/2$

Тогда $\cos \theta = \frac{-a^2/2}{a \cdot a} = \frac{-a^2/2}{a^2} = -1/2$.

Следовательно, $\theta = \arccos(-1/2) = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$