Номер 21.19, страница 118 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21.19. По аналогии с определением скалярного произведения векторов на плоскости определите скалярное произведение векторов в пространстве.

По аналогии с определением скалярного произведения векторов на плоскости, скалярное произведение векторов в пространстве может быть определено двумя эквивалентными способами: геометрически и алгебраически (через координаты).

Геометрическое определение:

Скалярное произведение двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в трехмерном пространстве определяется как произведение их длин (модулей) на косинус угла $\alpha$ между ними.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha$

где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ - длины (модули) векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно, а $\alpha$ - угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ($0 \le \alpha \le \pi$). Если хотя бы один из векторов является нулевым, скалярное произведение считается равным нулю.

Координатное определение:

На плоскости, для векторов $\vec{a} = (x_a, y_a)$ и $\vec{b} = (x_b, y_b)$, скалярное произведение определяется как сумма произведений их соответствующих координат: $x_a x_b + y_a y_b$.

По аналогии, в трехмерном пространстве, если векторы заданы своими декартовыми координатами $\vec{a} = (x_a, y_a, z_a)$ и $\vec{b} = (x_b, y_b, z_b)$, их скалярное произведение определяется как сумма произведений их соответствующих координат:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b$

Эта формула является прямым обобщением координатного определения скалярного произведения векторов на плоскости на трехмерное пространство.

Ответ: Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в пространстве определяется как $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha$ (где $\alpha$ - угол между векторами) или, в координатной форме, как $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b$ для векторов $\vec{a} = (x_a, y_a, z_a)$ и $\vec{b} = (x_b, y_b, z_b)$.