Номер 21.14, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21.14. Точки E и F являются серединами соответственно ребер $AB$ и $C_1D_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 21.7). Докажите, что векторы $\vec{CE}$, $\vec{AF}$ и $\vec{BB_1}$ компланарны.

Рис. 21.7

Дано:

Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Точка $E$ — середина ребра $AB$.

Точка $F$ — середина ребра $C_1D_1$.

Найти:

Доказать, что векторы $\vec{CE}$, $\vec{AF}$ и $\vec{BB_1}$ компланарны.

Решение:

Для доказательства компланарности трех векторов достаточно показать, что один из них является линейной комбинацией двух других, то есть $\vec{a} = x\vec{b} + y\vec{c}$ для некоторых скаляров $x$ и $y$.

Введем базисные векторы параллелепипеда с началом в точке $A$:

$\vec{AB} = \vec{u}$

$\vec{AD} = \vec{v}$

$\vec{AA_1} = \vec{w}$

Выразим радиус-векторы некоторых вершин параллелепипеда через эти базисные векторы:

$A = \vec{0}$

$B = \vec{u}$

$C = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{u} + \vec{AD} = \vec{u} + \vec{v}$ (так как $\vec{BC} = \vec{AD}$)

$D = \vec{v}$

$A_1 = \vec{w}$

$B_1 = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{u} + \vec{AA_1} = \vec{u} + \vec{w}$

$C_1 = \vec{AC} + \vec{CC_1} = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{AA_1} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{w}$

$D_1 = \vec{AD} + \vec{DD_1} = \vec{v} + \vec{AA_1} = \vec{v} + \vec{w}$

Теперь выразим заданные векторы $\vec{CE}$, $\vec{AF}$ и $\vec{BB_1}$ через базисные векторы $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$.

Вектор $\vec{CE}$:

Точка $E$ является серединой ребра $AB$, поэтому $\vec{AE} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{u}$.

Вектор $\vec{CE}$ можно найти как разность радиус-векторов точки $E$ и точки $C$: $\vec{CE} = \vec{AE} - \vec{AC}$.

Мы знаем $\vec{AC} = \vec{u} + \vec{v}$.

Следовательно, $\vec{CE} = \frac{1}{2}\vec{u} - (\vec{u} + \vec{v}) = \frac{1}{2}\vec{u} - \vec{u} - \vec{v} = -\frac{1}{2}\vec{u} - \vec{v}$.

Вектор $\vec{AF}$:

Точка $F$ является серединой ребра $C_1D_1$.

Вектор $\vec{AF}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AD_1} + \vec{D_1F}$.

Мы знаем $\vec{AD_1} = \vec{v} + \vec{w}$.

Ребро $D_1C_1$ параллельно и равно ребру $AB$, поэтому вектор $\vec{D_1C_1} = \vec{AB} = \vec{u}$.

Так как $F$ — середина $C_1D_1$, то $\vec{D_1F} = \frac{1}{2}\vec{D_1C_1} = \frac{1}{2}\vec{u}$.

Следовательно, $\vec{AF} = (\vec{v} + \vec{w}) + \frac{1}{2}\vec{u} = \frac{1}{2}\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}$.

Вектор $\vec{BB_1}$:

Вектор $\vec{BB_1}$ параллелен и равен вектору $\vec{AA_1}$.

Следовательно, $\vec{BB_1} = \vec{w}$.

Итак, мы выразили все три вектора через базисные векторы $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$:

$\vec{CE} = -\frac{1}{2}\vec{u} - \vec{v}$

$\vec{AF} = \frac{1}{2}\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}$

$\vec{BB_1} = \vec{w}$

Теперь проверим, можно ли выразить один из векторов как линейную комбинацию двух других. Попробуем выразить $\vec{AF}$ через $\vec{CE}$ и $\vec{BB_1}$:

$\vec{AF} = x \cdot \vec{CE} + y \cdot \vec{BB_1}$

Подставим найденные выражения векторов:

$\frac{1}{2}\vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = x \cdot (-\frac{1}{2}\vec{u} - \vec{v}) + y \cdot \vec{w}$

Раскроем скобки и сгруппируем члены:

$\frac{1}{2}\vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = -\frac{1}{2}x\vec{u} - x\vec{v} + y\vec{w}$

Поскольку векторы $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ некомпланарны (они образуют базис пространства), коэффициенты при соответствующих базисных векторах в обеих частях уравнения должны быть равны:

При $\vec{u}$: $\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}x$

При $\vec{v}$: $1 = -x$

При $\vec{w}$: $1 = y$

Из первого уравнения находим $x = -1$.

Подставим $x = -1$ во второе уравнение: $1 = -(-1)$, что дает $1 = 1$. Это показывает согласованность системы уравнений.

Из третьего уравнения сразу получаем $y = 1$.

Таким образом, мы нашли скаляры $x = -1$ и $y = 1$, для которых выполняется равенство:

$\vec{AF} = -1 \cdot \vec{CE} + 1 \cdot \vec{BB_1}$

Или $\vec{AF} = -\vec{CE} + \vec{BB_1}$.

Поскольку один из векторов ($\vec{AF}$) выражается как линейная комбинация двух других векторов ($\vec{CE}$ и $\vec{BB_1}$), это означает, что все три вектора $\vec{CE}$, $\vec{AF}$ и $\vec{BB_1}$ компланарны по определению.

Ответ:

Доказано, что векторы $\vec{CE}$, $\vec{AF}$ и $\vec{BB_1}$ компланарны.