Номер 21.10, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21.10. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Будут ли векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны?

Дано: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Найти: Будут ли векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны?

Решение:

По определению, два ненулевых вектора коллинеарны, если один из них можно представить как произведение другого вектора на некоторое число. Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то существует скаляр $k$ такой, что $\vec{b} = k\vec{a}$. Рассмотрим два случая:

Случай 1: Хотя бы один из векторов $\vec{a}$ или $\vec{b}$ является нулевым вектором.

Если $\vec{a} = \vec{0}$, то поскольку $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, вектор $\vec{b}$ также должен быть нулевым вектором ($\vec{b} = k\vec{0} = \vec{0}$). В этом случае:
$\vec{a} + \vec{b} = \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$
$\vec{a} - \vec{b} = \vec{0} - \vec{0} = \vec{0}$
Два нулевых вектора коллинеарны, так как нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Если $\vec{b} = \vec{0}$, то $\vec{a}$ и $\vec{0}$ коллинеарны. В этом случае:
$\vec{a} + \vec{b} = \vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$
$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} - \vec{0} = \vec{a}$
Векторы $\vec{a}$ и $\vec{a}$ очевидно коллинеарны (коллинеарность означает, что они лежат на параллельных прямых или одной и той же прямой).

Случай 2: Оба вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются ненулевыми.

Так как $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то $\vec{b} = k\vec{a}$ для некоторого скаляра $k \ne 0$.
Рассмотрим векторную сумму $\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}$:
$\vec{u} = \vec{a} + k\vec{a} = (1+k)\vec{a}$
Рассмотрим векторную разность $\vec{v} = \vec{a} - \vec{b}$:
$\vec{v} = \vec{a} - k\vec{a} = (1-k)\vec{a}$

Чтобы векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ были коллинеарны, должен существовать скаляр $m$ такой, что $\vec{u} = m\vec{v}$.
$(1+k)\vec{a} = m(1-k)\vec{a}$

Возможны следующие подслучаи для ненулевых $\vec{a}$:

Подслучай 2.1: $1-k \ne 0$ (т.е., $k \ne 1$).

В этом случае мы можем выразить $m$:
$m = \frac{1+k}{1-k}$
Таким образом, $\vec{u} = \frac{1+k}{1-k}\vec{v}$, что означает, что векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ коллинеарны.

Подслучай 2.2: $1-k = 0$ (т.е., $k = 1$).

Если $k=1$, то $\vec{b} = \vec{a}$.
Тогда:
$\vec{u} = \vec{a} + \vec{b} = \vec{a} + \vec{a} = 2\vec{a}$
$\vec{v} = \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$
Вектор $2\vec{a}$ и нулевой вектор $\vec{0}$ коллинеарны, поскольку нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Подслучай 2.3: $1+k = 0$ (т.е., $k = -1$).

Если $k=-1$, то $\vec{b} = -\vec{a}$.
Тогда:
$\vec{u} = \vec{a} + \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$
$\vec{v} = \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} - (-\vec{a}) = 2\vec{a}$
Векторы $\vec{0}$ и $2\vec{a}$ коллинеарны, поскольку нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Во всех рассмотренных случаях векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ оказываются коллинеарными.

Ответ: Да, будут.