Номер 21.7, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21.7. В треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 21.3) укажите какие-нибудь тройки:

а) компланарных векторов;

б) некомпланарных векторов.

Рис. 21.3

В треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ (см. рис. 21.3) необходимо указать тройки компланарных и некомпланарных векторов.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной и той же плоскости.

Векторы называются некомпланарными, если они не лежат в одной плоскости и не параллельны одной и той же плоскости. Это означает, что эти векторы могут образовывать базис в трехмерном пространстве.

Дано: Треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Найти:

• а) Тройки компланарных векторов.

• б) Тройки некомпланарных векторов.

Решение:

Для компланарных векторов можно выбрать любые три вектора, которые либо лежат в одной грани призмы, либо являются параллельными друг другу, либо два из них лежат в одной плоскости, а третий параллелен этой плоскости.

Рассмотрим следующие тройки векторов:

• Векторы, лежащие в плоскости основания $ABC$: $(\vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CA})$. Все три вектора лежат в одной плоскости (плоскости основания призмы).

• Векторы, лежащие в боковой грани $ABB_1A_1$: $(\vec{AA_1}, \vec{AB}, \vec{BB_1})$. Векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$ параллельны, следовательно, они компланарны. Вектор $\vec{AB}$ также лежит в той же плоскости, что и линии, соединяющие начальные и конечные точки $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$.

• Векторы, представляющие боковые ребра призмы: $(\vec{AA_1}, \vec{BB_1}, \vec{CC_1})$. Все боковые ребра призмы параллельны друг другу, следовательно, соответствующие им векторы компланарны (они параллельны одной и той же плоскости, например, любой плоскости, проходящей через два из этих векторов).

• Векторы, где два лежат в одной плоскости, а третий параллелен этой плоскости: $(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{A_1B_1})$. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ лежат в плоскости основания $ABC$. Вектор $\vec{A_1B_1}$ параллелен вектору $\vec{AB}$ (так как $ABB_1A_1$ — параллелограмм, и $AB \parallel A_1B_1$), а значит, и плоскости $ABC$. Следовательно, эти три вектора компланарны.

Ответ: Например, $(\vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CA})$.

Для некомпланарных векторов необходимо выбрать такую тройку, которая не может быть расположена или параллельна одной плоскости. Это часто достигается выбором двух векторов из одной плоскости и третьего вектора, который пересекает эту плоскость и не параллелен ей.

Рассмотрим следующие тройки векторов:

• Векторы, исходящие из одной вершины и направленные вдоль некомпланарных ребер: $(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AA_1})$. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ лежат в плоскости основания $ABC$. Вектор $\vec{AA_1}$ является ребром призмы, перпендикулярным основанию (или наклоненным, но не лежащим в той же плоскости). Он не параллелен плоскости $ABC$ и не лежит в ней. Следовательно, эти три вектора некомпланарны, поскольку они образуют базис пространства.

• Другой пример: $(\vec{BC}, \vec{BA}, \vec{BB_1})$. Аналогично, $\vec{BC}$ и $\vec{BA}$ лежат в плоскости основания $ABC$, а $\vec{BB_1}$ не параллелен и не лежит в этой плоскости.

Ответ: Например, $(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AA_1})$.