Номер 21.4, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

примы, коллинеарные векторы ли?

21.4. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ коллинеарны. Коллинеарны ли векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$?

Дано:

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ коллинеарны.

Найти:

Коллинеарны ли векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$?

Решение:

Два вектора $\vec{u}$ и $\vec{v}$ называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Математически это означает, что один вектор может быть выражен через другой с помощью скалярного множителя, то есть $\vec{u} = k \vec{v}$ для некоторого скаляра $k$, или $\vec{v} = k \vec{u}$. Нулевой вектор $\vec{0}$ считается коллинеарным любому вектору.

Рассмотрим два возможных случая для вектора $\vec{b}$:

Случай 1: Вектор $\vec{b}$ не является нулевым вектором ($\vec{b} \ne \vec{0}$).

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, существует скаляр $k_1$ такой, что $\vec{a} = k_1 \vec{b}$.

Поскольку векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ коллинеарны, существует скаляр $k_2$ такой, что $\vec{b} = k_2 \vec{c}$.

Подставим выражение для $\vec{b}$ из второго уравнения в первое:

$\vec{a} = k_1 (k_2 \vec{c})$

$\vec{a} = (k_1 k_2) \vec{c}$

Обозначим произведение скаляров $k_1 k_2$ как $K$. Тогда мы получаем $\vec{a} = K \vec{c}$. Это равенство показывает, что вектор $\vec{a}$ является произведением скаляра $K$ на вектор $\vec{c}$. По определению, это означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ коллинеарны. Этот случай включает ситуации, когда $\vec{a}$ или $\vec{c}$ являются нулевыми векторами, если $\vec{b} \ne \vec{0}$. Например, если $\vec{a} = \vec{0}$, то $k_1$ должен быть равен $0$, и тогда $K=0$, что дает $\vec{0} = 0 \cdot \vec{c}$, и $\vec{a}$ коллинеарен $\vec{c}$. Аналогично, если $\vec{c} = \vec{0}$.

Случай 2: Вектор $\vec{b}$ является нулевым вектором ($\vec{b} = \vec{0}$).

Если $\vec{b} = \vec{0}$, то условие "векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны" означает, что $\vec{a}$ коллинеарен $\vec{0}$. Это всегда верно для любого вектора $\vec{a}$ (например, $\vec{0} = 0 \cdot \vec{a}$).

Аналогично, условие "векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ коллинеарны" означает, что $\vec{0}$ коллинеарен $\vec{c}$. Это также всегда верно для любого вектора $\vec{c}$ (например, $\vec{0} = 0 \cdot \vec{c}$).

Рассмотрим конкретный контрпример, чтобы определить, будут ли $\vec{a}$ и $\vec{c}$ обязательно коллинеарны в этом случае:

Пусть $\vec{a} = (1, 0)$, $\vec{b} = (0, 0)$, $\vec{c} = (0, 1)$.

1. Векторы $\vec{a} = (1, 0)$ и $\vec{b} = (0, 0)$ коллинеарны, так как $\vec{b} = 0 \cdot \vec{a}$.

2. Векторы $\vec{b} = (0, 0)$ и $\vec{c} = (0, 1)$ коллинеарны, так как $\vec{b} = 0 \cdot \vec{c}$.

3. Проверим, коллинеарны ли векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$:

Попытаемся представить $\vec{a} = k \vec{c}$: $(1, 0) = k(0, 1)$. Это дает систему уравнений: $1 = k \cdot 0$ и $0 = k \cdot 1$. Первое уравнение $1=0$ не имеет решения, что означает, что такого скаляра $k$ не существует.

Попытаемся представить $\vec{c} = k \vec{a}$: $(0, 1) = k(1, 0)$. Это дает систему уравнений: $0 = k \cdot 1$ и $1 = k \cdot 0$. Второе уравнение $1=0$ не имеет решения.

Таким образом, векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ в данном контрпримере не коллинеарны.

Вывод:

Из рассмотренных случаев следует, что если промежуточный вектор $\vec{b}$ является ненулевым, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ обязательно будут коллинеарны. Однако, если вектор $\vec{b}$ является нулевым вектором, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ не обязательно будут коллинеарны, как показано в контрпримере.

Ответ: Не обязательно.