Задания, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Приведите пример трех некомпланарных векторов с началом и концом в вершинах треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выразите вектор $\vec{BD_1}$ через векторы $\vec{BA}$, $\vec{BC}$ и $\vec{BB_1}$ (рис. 21.2).

Рис. 21.2

Приведите пример трех некомпланарных векторов с началом и концом в вершинах треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$.

Для треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ можно выбрать три вектора, исходящие из одной вершины и не лежащие в одной плоскости. Например, возьмем вершину A.

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ лежат в плоскости основания $ABC$. Вектор $\vec{AA_1}$ соединяет вершину нижнего основания с соответствующей вершиной верхнего основания и, в общем случае, не лежит в плоскости $ABC$. Таким образом, эти три вектора не являются компланарными.

Ответ: Векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AA_1}$.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выразите вектор $\vec{BD_1}$ через векторы $\vec{BA}$, $\vec{BC}$ и $\vec{BB_1}$ (рис. 21.2).

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Векторы $\vec{BA}$, $\vec{BC}$, $\vec{BB_1}$.

Найти: Выразить вектор $\vec{BD_1}$ через $\vec{BA}$, $\vec{BC}$ и $\vec{BB_1}$.

Решение:

Для выражения вектора $\vec{BD_1}$ воспользуемся правилом сложения векторов. Вектор $\vec{BD_1}$ можно представить как сумму векторов, составляющих путь от точки $B$ до точки $D_1$.

Можно представить $\vec{BD_1}$ как сумму вектора $\vec{BD}$ (диагональ основания) и вектора $\vec{DD_1}$ (боковое ребро).

$ \vec{BD_1} = \vec{BD} + \vec{DD_1} $

Рассмотрим вектор $\vec{BD}$ в основании куба $ABCD$. Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ являются смежными сторонами квадрата $ABCD$, исходящими из вершины $B$. По правилу сложения векторов (правилу параллелограмма), диагональ, исходящая из той же вершины, является их суммой:

$ \vec{BD} = \vec{BA} + \vec{BC} $

Далее, рассмотрим вектор $\vec{DD_1}$. В кубе все боковые ребра параллельны и равны. Следовательно, вектор $\vec{DD_1}$ равен вектору $\vec{BB_1}$:

$ \vec{DD_1} = \vec{BB_1} $

Теперь подставим полученные выражения для $\vec{BD}$ и $\vec{DD_1}$ в исходное уравнение для $\vec{BD_1}$:

$ \vec{BD_1} = (\vec{BA} + \vec{BC}) + \vec{BB_1} $

Раскрывая скобки, получаем:

$ \vec{BD_1} = \vec{BA} + \vec{BC} + \vec{BB_1} $

Эта формула является выражением вектора диагонали куба, исходящей из вершины $B$ и направленной в вершину $D_1$, через векторы его смежных ребер, исходящих из той же вершины $B$.

Ответ: $ \vec{BD_1} = \vec{BA} + \vec{BC} + \vec{BB_1} $