Номер 20.17, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Рис. 20.12

20.17. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 20.9). Найдите такие числа $t$, $s$, для которых:

а) $\vec{AC} = t \vec{AB} + s \vec{AF}$;

б) $\vec{AD} = t \vec{AB} + s \vec{AF}$;

в) $\vec{AE} = t \vec{AB} + s \vec{AF}$;

г) $\vec{AC_1} = t \vec{AB} + s \vec{AF_1}$.

Рис. 20.9

В данной задаче нам необходимо найти числа $t$ и $s$ для различных векторных равенств в правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1.

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Длина всех ребер $L = 1$.

Длина ребра $L = 1$ (единица длины). Поскольку задача носит относительный характер (отношения векторов), перевод в метры не требуется.

Числа $t$ и $s$ для следующих векторных равенств:

• $\vec{AC} = t\vec{AB} + s\vec{AF}$
• $\vec{AD} = t\vec{AB} + s\vec{AF}$
• $\vec{AE} = t\vec{AB} + s\vec{AF}$
• $\vec{AC_1} = t\vec{AB} + s\vec{AF_1}$

Для удобства решения введем декартову систему координат. Пусть точка $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Ориентируем гексагон $ABCDEF$ в плоскости $xy$ так, чтобы вектор $\vec{AB}$ лежал вдоль положительной оси $x$. Тогда координаты вершины $B$ будут $B(1,0,0)$.

В правильном шестиугольнике внутренний угол составляет $120^\circ$. На рисунке вершины $A, B, C, D, E, F$ расположены по часовой стрелке. Угол между вектором $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$ равен $120^\circ$. Если $\vec{AB}$ лежит на оси $x$, то $\vec{AF}$ будет направлен под углом $-120^\circ$ относительно положительной оси $x$. Координаты вершины $F$ будут $F(1 \cdot \cos(-120^\circ), 1 \cdot \sin(-120^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$. Таким образом, $\vec{AF} = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Высота призмы также равна 1, поэтому вектор $\vec{AA_1}$ параллелен оси $z$: $\vec{AA_1} = (0,0,1)$.

Обозначим базисные векторы: $\vec{AB} = \mathbf{u} = (1,0,0)$ и $\vec{AF} = \mathbf{v} = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$. Для любого вектора $\vec{AX} = (x_X, y_X, 0)$ в плоскости основания, который выражается как $t\mathbf{u} + s\mathbf{v}$, получаем систему уравнений:

$x_X = t \cdot 1 + s \cdot (-1/2) \implies x_X = t - s/2$ $y_X = t \cdot 0 + s \cdot (-\sqrt{3}/2) \implies y_X = -s\sqrt{3}/2$

Из второго уравнения выразим $s$: $s = -2y_X/\sqrt{3}$. Подставим $s$ в первое уравнение, чтобы найти $t$: $t = x_X + s/2 = x_X + (-2y_X/\sqrt{3})/2 = x_X - y_X/\sqrt{3}$. Итак, общие формулы для $t$ и $s$ в плоскости основания: $t = x_X - y_X/\sqrt{3}$ и $s = -2y_X/\sqrt{3}$.

а) $\vec{AC} = t\vec{AB} + s\vec{AF}$

Координаты вершины $C$: Вектор $\vec{BC}$ имеет длину 1 и образует угол $-60^\circ$ с осью $x$ (если $\vec{AB}$ вдоль $x$). $\vec{BC} = (1 \cdot \cos(-60^\circ), 1 \cdot \sin(-60^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$. Вектор $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = (1,0,0) + (1/2, -\sqrt{3}/2, 0) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$. Используем полученные общие формулы для $t$ и $s$ при $x_C = 3/2$, $y_C = -\sqrt{3}/2$: $s = -2(-\sqrt{3}/2)/\sqrt{3} = 1$. $t = 3/2 - (-\sqrt{3}/2)/\sqrt{3} = 3/2 + 1/2 = 2$.

Ответ: $t=2, s=1$.

б) $\vec{AD} = t\vec{AB} + s\vec{AF}$

Вектор $\vec{AD}$ является главной диагональю правильного шестиугольника. Его длина равна $2L = 2$. Вектор $\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}$. В правильном шестиугольнике $\vec{CD}$ параллелен и равен $\vec{AF}$, но противоположен по направлению, то есть $\vec{CD} = -\vec{AF}$. Однако проще использовать координаты $D$. $D$ - это точка, противоположная $A$ относительно центра шестиугольника. Угол $BAD$ равен $60^\circ$ (если идти от $AB$ в сторону $AF$, то есть против часовой стрелки), но так как обход по часовой стрелке, то угол равен $-60^\circ$. Координаты вершины $D$: $D = A + (2 \cdot \cos(-60^\circ), 2 \cdot \sin(-60^\circ), 0) = (2 \cdot 1/2, 2 \cdot (-\sqrt{3}/2), 0) = (1, -\sqrt{3}, 0)$. Используем формулы для $t$ и $s$ при $x_D = 1$, $y_D = -\sqrt{3}$: $s = -2(-\sqrt{3})/\sqrt{3} = 2$. $t = 1 - (-\sqrt{3})/\sqrt{3} = 1 + 1 = 2$.

Ответ: $t=2, s=2$.

в) $\vec{AE} = t\vec{AB} + s\vec{AF}$

Вектор $\vec{AE}$ является короткой диагональю шестиугольника. Его длина равна $L\sqrt{3} = \sqrt{3}$. Вектор $\vec{AE}$ можно представить как $\vec{AD} + \vec{DE}$. В правильном шестиугольнике $\vec{DE}$ параллелен и равен $\vec{AB}$, но противоположен по направлению, то есть $\vec{DE} = -\vec{AB}$. $\vec{AE} = \vec{AD} - \vec{AB} = (1, -\sqrt{3}, 0) - (1,0,0) = (0, -\sqrt{3}, 0)$. Используем формулы для $t$ и $s$ при $x_E = 0$, $y_E = -\sqrt{3}$: $s = -2(-\sqrt{3})/\sqrt{3} = 2$. $t = 0 - (-\sqrt{3})/\sqrt{3} = 1$.

Ответ: $t=1, s=2$.

г) $\vec{AC_1} = t\vec{AB} + s\vec{AF_1}$

Вектор $\vec{AF_1}$ можно представить как сумму $\vec{AF} + \vec{FF_1}$. Поскольку боковое ребро $\vec{FF_1}$ параллельно и равно $\vec{AA_1}$, то $\vec{FF_1} = \vec{AA_1} = (0,0,1)$. $\vec{AF_1} = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0) + (0,0,1) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Вектор $\vec{AC_1}$ можно представить как сумму $\vec{AC} + \vec{CC_1}$. Поскольку боковое ребро $\vec{CC_1}$ параллельно и равно $\vec{AA_1}$, то $\vec{CC_1} = \vec{AA_1} = (0,0,1)$. $\vec{AC_1} = (3/2, -\sqrt{3}/2, 0) + (0,0,1) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Теперь решаем векторное уравнение $\vec{AC_1} = t\vec{AB} + s\vec{AF_1}$: $(3/2, -\sqrt{3}/2, 1) = t(1,0,0) + s(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$. Разложим это уравнение по компонентам:

1) По оси $x$: $3/2 = t - s/2$ 2) По оси $y$: $-\sqrt{3}/2 = -s\sqrt{3}/2$ 3) По оси $z$: $1 = s$

Из уравнений (2) и (3) немедленно следует, что $s=1$. Подставим значение $s=1$ в уравнение (1): $3/2 = t - 1/2$ $t = 3/2 + 1/2 = 2$.

Ответ: $t=2, s=1$.