Номер 20.10, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.10. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите длину вектора:

а) $\overline{AB} + \overline{AD}$;

б) $\overline{AB} + \overline{AD_1}$;

в) $\overline{AB} + \overline{CC_1}$;

г) $\overline{AB} + \overline{CD_1}$;

д) $\overline{AB} + \overline{AD} + \overline{AA_1}$.

20.11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$

Дано: Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Для единичного куба длина ребра $a = 1$.

Найти: Длину вектора для каждого случая.

Решение

Введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Тогда координаты вершин будут:

• $A(0,0,0)$
• $B(1,0,0)$
• $C(1,1,0)$
• $D(0,1,0)$
• $A_1(0,0,1)$
• $B_1(1,0,1)$
• $C_1(1,1,1)$
• $D_1(0,1,1)$

Соответствующие векторы, используемые в задаче:

• $\vec{AB} = B - A = (1,0,0)$
• $\vec{AD} = D - A = (0,1,0)$
• $\vec{AA_1} = A_1 - A = (0,0,1)$
• $\vec{AD_1} = D_1 - A = (0,1,1)$
• $\vec{CC_1} = C_1 - C = (1,1,1) - (1,1,0) = (0,0,1)$
• $\vec{CD_1} = D_1 - C = (0,1,1) - (1,1,0) = (-1,0,1)$

а) $\vec{AB} + \vec{AD}$

По правилу параллелограмма $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$. Вектор $\vec{AC}$ является диагональю квадрата $ABCD$ со стороной 1.

Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. В нашем случае $a=1$, поэтому $|\vec{AC}| = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Используя координаты:

$\vec{AB} + \vec{AD} = (1,0,0) + (0,1,0) = (1,1,0)$

Длина полученного вектора: $|\vec{AB} + \vec{AD}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

б) $\vec{AB} + \vec{AD_1}$

Используем координаты:

$\vec{AB} = (1,0,0)$

$\vec{AD_1} = (0,1,1)$

$\vec{AB} + \vec{AD_1} = (1,0,0) + (0,1,1) = (1,1,1)$

Вектор $(1,1,1)$ соответствует главной диагонали куба $\vec{AC_1}$.

Длина главной диагонали куба со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. В нашем случае $a=1$, поэтому $|\vec{AC_1}| = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Длина полученного вектора: $|\vec{AB} + \vec{AD_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

в) $\vec{AB} + \vec{CC_1}$

Вектор $\vec{CC_1}$ параллелен вектору $\vec{AA_1}$ и имеет ту же длину (равную длине ребра куба $a=1$). Следовательно, $\vec{CC_1} = \vec{AA_1} = (0,0,1)$.

Используем координаты:

$\vec{AB} = (1,0,0)$

$\vec{CC_1} = (0,0,1)$

$\vec{AB} + \vec{CC_1} = (1,0,0) + (0,0,1) = (1,0,1)$

Вектор $(1,0,1)$ соответствует диагонали боковой грани $\vec{AB_1}$.

Длина диагонали грани куба со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. В нашем случае $a=1$, поэтому $|\vec{AB_1}| = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Длина полученного вектора: $|\vec{AB} + \vec{CC_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

г) $\vec{AB} + \vec{CD_1}$

Используем координаты:

$\vec{AB} = (1,0,0)$

$\vec{CD_1} = (-1,0,1)$

$\vec{AB} + \vec{CD_1} = (1,0,0) + (-1,0,1) = (1-1, 0+0, 0+1) = (0,0,1)$

Вектор $(0,0,1)$ соответствует ребру куба $\vec{AA_1}$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Длина полученного вектора: $|\vec{AB} + \vec{CD_1}| = |\vec{AA_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: $1$.

д) $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$

По правилу параллелепипеда, сумма трех векторов, исходящих из одной вершины куба и образующих его ребра, равна вектору, ведущему в противоположную вершину куба. То есть, $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{AC_1}$.

Вектор $\vec{AC_1}$ является главной диагональю куба.

Длина главной диагонали куба со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. В нашем случае $a=1$, поэтому $|\vec{AC_1}| = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Используя координаты:

$\vec{AB} = (1,0,0)$

$\vec{AD} = (0,1,0)$

$\vec{AA_1} = (0,0,1)$

$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = (1,0,0) + (0,1,0) + (0,0,1) = (1,1,1)$

Длина полученного вектора: $|\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.